**수식은 인터넷 익스플로러에서는 제대로 표현되지 않음. 파이어폭스 웹 브라우저를 권장함.

직사각형 함수를 푸리에 변환 해보자. 간단하다.
f(x) = 1 if -1<x<1
f(x) = 0 otherwise

적분 구간은 원래는 실수 전 구간이지만, 어차피 다른 구간에서는 0이므로, x가 1인 구간에서만 적분하면 된다.
f(x)의 푸리에 변환을 g(k)라고 하면
$g(k) = \frac{-2}{ik} sin(k)$
이 적분을 어떻게 했는지 궁금한 사람은 인터넷 검색을 하시기 바라며...

보다시피, sinc함수가 튀어나왔다. 물론 이 함수는 연속함수다. 이제, 직사각형 함수가 주기적으로 변하는 경우 어떻게 되는지 살펴보자.
f(x) = 1 if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for any integer n
f(x) = 0 otherwise
이런거 적분하려면 좀 골치아플것 같지만, 사실 저 함수는 n에 대해서 잘 정의된 함수의 무한급수다. 가령
$f_n(x) = 1$  if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for the given integer n
이렇게 정해놓고 나면
$f(x) = \sum f_n(x)$
이렇게 된다. 따라서, 푸리에 변환을 할때는 $f_n$만 잘 해주면 된다. 마찬가지로, 휘리릭 계산해 주면
$g_n (k) = exp(-2nik) \frac{-2}{ik}sin(k/2)$
그럼
$g(k) = \sum g_n(k) = (cot(k) - i)\frac{-4}{ik}sin(k/2)$
음...생긴게 조금 이상하긴 하지만, 아무튼 sinc함수에 다른 함수를 곱한 형태가 등장했다. (검산 해보기 바람. 적분한 다음 무한급수의 합 공식을 쓰면 됨.) 아마 이 함수는 연속함수일 것이다. (추측임. 증명은 안해봤음.)

그럼, 직사각형 함수가 주기적이지 않을 때에는 어떻게 될까? 이번엔 f(x)를 다음과 같이 정의하자.
$f(x) = \sum f_n(x)$
$f_n(x) = 1 $ if a_n < x <b_n , where $[a_n, b_n]$ has no intersection with $ [a_m, b_m]$ for any integer m without the case m=n.
이것도 앞서 한 것과 마찬가지로 대충 적분하고 덧셈으로 꾹 눌러담아 주면 된다. 그러나 좀 까다롭게 된다. 앞에 나온 것처럼 하나의 함수가 되는 것이 아니라, 무한급수를 그냥 놔둬야만 한다.
$g_n(k) = exp(-ik\frac{b_n+a_n}{2})\frac{-2}{ik} sin(\frac{b_n-a_n}{2}k)$
$g(k)=\sum g_n(k)$
대충 보면, sinc함수는 맞는데, 앞에 삼각함수 하나가 곱해져 있다. 이건 왜 이렇게 되었을까? (물론 이 함수도 연속함수다. 아마)

두가지 경우의 직사각형 함수에 대해서 달라진 것은 단지 "주기성" 뿐이다. 이전의 글에서, 주기 함수를 푸리에 변환 하면 특정한 진동수의 함수들만 살아남게 된다는 것을 이야기 했었다. 하지만 함수에서 주기성이 깨져버리는 경우, 주기함수가 아닌 것을 주기함수(즉, 삼각함수)의 합으로 표현하려면 모든 종류의 주기성이 전부 다 포함되어야 한다. 뒤섞여 버리지 않으면 안된다는 것이다.

음...그런데, 어쨌든 impulse 형태는 보이지 않는다. 어떻게 된 걸까. 내 계산이 틀린건가?
by snowall 2009. 1. 31. 16:39