티끌 모아 태산 (2)

http://www.math.unl.edu/~gmeisters1/papers/Measure/measure.pdf
내가 현재 참고하고 있는 Text는 위의 링크에 있다. 3쪽 짜리의 매우 짧은 글이니까 관심있으면 읽어봐도 된다.

지난번에 어쨌거나 "길이"라는 걸 정하긴 했다. 예를 들면, a부터 b까지 (a<b는 앞으로 암묵적으로 가정한다.) 있는 선분의 길이는 b-a라고 하자. 뭐 이런거. 그리고, "없는 부분은 세지 말자"는 얘기도 했다.
기억이 안나면 복습하러 고고씽.
http://snowall.tistory.com/1324

여기서, 일단 자연스럽게 길이 개념을 생각해 볼 수 있다. a부터 b까지 들어가는 구간인데, 우리는 구간을 정의할때 "열린 구간"이랑 "닫힌 구간"을 생각한다. "a보다 크거나 같고 b보다 작거나 같은 실수의 집합"이라고 할때 이 구간은 닫힌 구간이다. 왜냐하면 양쪽 끝 점이 포함되어 있기 때문이다. "a보다 크고 b보다 작은 실수의 집합"이라고 하면, 이건 물론 열린 구간이다. 양쪽 끝점이 포함되지 않기 때문이다. 한쪽만 열리거나 한쪽만 닫힌 경우도 있는데, 그건 그냥 반쯤 열린... (그만 두자. -_-;)

아무튼 열려있든 닫혀있든 a부터 b까지에 해당하는 구간의 길이는 b-a로 정할 수 있다. 이것은 a라는 점 자체는 길이가 없기 때문이다. 의심간다면 a부터 a까지에 해당하는 구간의 길이를 생각해 보자. 상식적으로, a-a=0이다.^[각주:1]

또한 상식적인 것은 a부터 b까지 구간과 b부터 c까지 구간의 길이를 합치면 (물론 a<b<c) a부터 c까지 구간의 길이와 정확히 같다는 점. 사실은 a부터 b까지 구간과 c부터 d까지 구간의 길이를 합친 것은 두 구간의 합집합의 크기와 같다고 해도 된다. 물론 두 구간은 겹치지 않아야 할 것이다. 반대로, 겹치는 경우는 그 구간은 한번만 세면 될 것이다.

길이라는 것의 특징이 그렇겠지만, 예를 들어서 a와 b구간 안에 c와 d구간이 들어있다면 (즉, a<c<d<b), a와 b구간의 길이는 c와 d구간의 길이보다 더 길다고 봐야한다.

길이가 갖고 있는 다른 특징중의 하나는 옆으로 옮기더라도 길이가 변하지 않는다는 것이다. a와 b사이의 길이를 b-a라고 했으면, a+d와 b+d사이의 길이 또한 b-a가 된다. 지극히 상식적이지 않은가...?

이런걸 처음으로 기초를 잡은 사람이 Henri Lebesgue이다. ^[각주:2]

여기까지는 대단히 상식적인 길이에 관한 이야기였다. 자 하나만 갖고 있어도 알아볼 수 있는 수준정도. 그럼, 이제 적당한 실수의 부분집합을 하나 골라 보자. 골라본다고 해봐야, 당신이 상상 할 수 있는건 무한히 긴 자 위에서 점을 몇개 (또는 무한히 많이) 골라내고 적당한 길이의 구간을 여러개 (또는 무한히 많이) 골라낸 집합들의 합집합 정도일 것이다. 할 수 있는 것이 그다지 많지 않으므로 생각하기는 간단하다. 그럼, 측도라는걸 정의하기 전에 외측도라는 걸 먼저 정의하자. (왜 정의하냐건...웃지요.)

정의 1 : 실수의 부분집합 $E$가 있을 때, $E$의 외측도라는 것을 $m^*(E)$라고 하자. $m^*(E)$는 다음과 같이 정해지는 어떤 실수이다.
$I_k$를 어떤 열린 구간들이라고 하자. 다시말해서, $k$번째 구간이 어디서부터 어디까지인지 다 정해놨다고 하자는 것이다. 그런데 이 구간들이 가진 특징이, 모든 구간을 다 합쳐서 합집합을 하나 만들면 앞에서 말한 집합 $E$를 포함하는 것들이다. 어쨌거나 구간이기 때문에 그 각각의 $I_k$는 앞에서 말한대로 그 길이를 잴 수 있다. 또한, 그 길이를 알고 있으면 $I_k$의 합집합의 길이도 알 수 있다. 합집합의 길이는 당연히 각각의 구간의 길이를 다 더하고, 겹치는 부분은 빼주면 된다.
그럼 $m^*(E)$는 그런 합집합의 길이의 하한값으로 정한다.^[각주:3]

이제, 이런걸 정의 했으니까 써먹어 봐야 하지 않겠나?

하지만...OTL
도대체 길이 재는걸 어디다 갖다 써먹어야 하지?

1. a-a=0이라는 것을 받아들이기 힘든 사람도 있겠지만, 그런 식의 수학은 이 글에서 다루지는 않고 있다. [본문으로]
2. "앙리 르벡"이라고 읽자. 헨리 르베스그...라고 읽지는 않는다. 내가 이걸 처음 배우던 수업 시간에는 아무도 이 개념에 대해서 질문하지 않았다. 개념을 이해했기 때문에 질문하지 않은게 아니라, 개념을 모르겠는데 이 사람 이름을 대체 뭐라고 읽어야 할지는 더더욱 알 수 없었기 때문이었던 것 같다. 나중에 수업 끝나고 몰래 물어봤다. 그 뒤로는 나 혼자서 질문하고 그랬던 것 같다. [본문으로]
3. 하한값이란, "그 집합에 있는 어떠한 값들보다 더 작은 값" 중에서 가장 큰 값이다. [본문으로]