간단한 수학 문제

대학교 3학년때 수리물리학 교수님이 수학여행 가서 내준 수학 문제다. (수학이 그 수학이 아니라는 거...)

실수에서 실수로 가는 f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x) = x (x는 임의의 실수)

f(x)를 0.5번 미분한 함수를 구하시오.

문제가 답이 없을(?) 것 같아서 함수를 고쳐둔다. 물론 위의 f(x)=x에 대한 답도 한번 따져봐야겠다.

실수에서 실수로 가는 f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x) = exp(-x*x)
f(x)를 0.5번 미분한 함수를 구하시오.

힌트가 숨어있음. -_-;

나중에 답을 읽어보면 푸하하 웃을 수도 있지만
원래 다들 그렇듯이 수리물리학이라는게
많이 복잡한듯한  계산에 몰두하게 하면서도
사실은 산수 계산에 급급하여
실제로 중요한 부분인 수학은 빼먹게 된다.

사실 나도 조금 두려운게 낚시해놓고서 내가 아는 방법으로 계산을 해봤는데 값이 발산하거나 제대로 안되면 어쩌지 하는 거지만. 논문도 아닌데 뭐 어떤가...ㅋ

----해설----

어쨌든 답은 푸리에 변환과 연관이 있다.

$\hat{f}(k)=\int f(x)\exp(ikx)dx$
라고 하자.
그럼 이것의 역변환은
$f(x)=\int \hat{f}(k)\exp(-ikx)dk$
이다. f(x)를 x에 대해서 미분해 보자.
$f'(x)=\int \hat{f}(k) (-ik) \exp(-ikx)dk$
적분 안에 있는 x는 적분변수인 k와는 무관한 변수이기 때문에 그냥 미분해도 된다. 그렇게 그냥 미분했더니 -ik가 달라붙었다.

두번 미분해 보자.
$f''(x)=\int \hat{f}(k) (-ik) (-ik) \exp(-ikx)dk$
당연히 -ik가 두번 나온다.
n번 미분해 보면 어떻게 될지 뻔하다.
$f^{(n)}(x)=\int \hat{f}(k) (-ik)^n \exp(-ikx)dk$
이래도 됩니까? 라고 물어볼 수도 있지만, 적분이나 급수는 수렴하기만 한다면 뭐든지 해도 된다. (물론 난 아직 수렴성은 증명하지 않았다. 사실 이게 수렴하는지 어떤지에 대해서는 확신이 없다. 증명해본 기억이 없는 듯...)
물론 아직까지 n은 정수다. n에 음수를 넣으면 적분도 할 수 있다. (수렴한다면...)

그럼 혹시 n에 유리수를 넣어도 될까? (아마도) 된다.

그러니까, 결국 0.5번 미분한 함수라는 것은
$f^{(0.5)}(x)=\int \hat{f}(k) \sqrt{-ik} \exp(-ikx)dk$
를 계산하면 된다.

그나저나 내가 본문에 제시한 함수의 푸리에 변환을 어떻게 해야 하는지는 정확히 모르겠다. 원래 가우스 함수는 푸리에 변환에 대해서 불변인 함수이기 때문에 계산이 쉽긴 한데, 지금 계산하기엔 (마음 속의) 여백이 부족하다. 언젠가 이 문제에 대해서 답을 쓸 날이 오겠거니 싶다.