일반적인 타원체의 부피 계산

goldenbug님의 글 http://science.binote.com/1525

일단 적당한 타원체가 있다고 하자. n차원에서의 타원체라면 다음과 같이 쓰면 된다.

2차원에서는 그 유명한 2차곡선중의 하나인 "그냥 타원"이고, 3차원에서는 타원체, 4차원이상에서도 타원체라고 부른다. (굳이 구별하자면 초타원체(hyper-eliptic body)랄까.)

2차원에서 타원의 부피는 넓이라고 부르고, 어쨌거나 그 크기는

가 된다. 3차원에서 타원체의 부피는

이 된다. 뻔하다. 그냥 위의 S는 그 부피가

이다. 분모에 있는 계수를 전부 곱하면 된다.

언제나 그렇듯 계수 i를 실수로 일반화 시켜보자. (미친짓임. 수학적으로 엄밀한지 어떤지 잘 모름.)

이번에도 분모에 있는 a(k)를 전부 곱하고 싶은데...하고 싶은데 무한히 많다. -_-;;;

잠깐 연구해 보자.

의 log값을 계산해 보면 

이렇게 된다. $exp(log(a))=a$인 관계가 있다는 걸 잘 생각해 보자. n차원으로 일반화 시킨 경우에는

를 계산한 후

를 계산하면 된다. 덧셈은 연속체로 일반화 시켰을 때 적분이 되므로,

라고 한 후 연속체 계수를 갖는 일반적인 타원체 S의 부피는

라고 하면 된다.

참고로, 여기서 계산한 무한히 많은 것의 곱을 적분으로 바꿨다가 다시 지수에 올려서 원래대로 바꾸는 방법은 Path integral에도 등장한다.
또 참고로, goldenbug님의 글을 참고해 본다면 사실 좌표변환 행렬식(Jacobian)을 이용하는 방법이 더 일반적인 방법이다. 본문에서는 n차원 유클리드 공간에서의 직교 좌표계(Cartesian coordinate)만을 다루고 있지만, goldenbug님의 글 처럼 Jacobian을 이용해서 계산하면 직교 좌표계가 아닌 경우에도 "타원체"라고 부르는 것의 부피를 일반적으로 계산할 수 있다. 또한 일반화시켜서 좌표가 연속체인 경우에도 계산할 수 있다. 거기까지 다루면 함수해석학까지도 다뤄야 하기 때문에 일단 포기한다.