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라플라스 변환과 푸리에 변환...
공학/물리학/수학 전공하는 사람이 아니면, 몰라도 사는데는 아무런 지장도 부담도 문제도 없는 라플라스 변환과 푸리에 변환. 가장 유명한 "적분 변환"중의 하나이다. 이건 어디에 쓰는 걸까? 아니, 일단, 왜 할까?
두 변환의 공통점은 지수함수를 곱해서 적분한다는 것이고, 차이점은 지수함수에 들어가는 숫자가 라플라스 변환에서는 실수이고 푸리에 변환에서는 허수라는 점이다. 어? 실수+허수는 복소수니까, 그냥 복소수를 지수에 올려서 곱해도 되지 않을까? 아이디어로 볼 때, 두 적분 변환은 완전히 똑같다. 게다가 라플라스와 푸리에의 생존 연도도 비슷하다. 대체 누가 이런 아이디어를 어떻게 생각해낸 걸까?
이런 궁금증은, 풀려고 하면 끝이 없으므로, 난 그냥 내가 아는 수학적 지식을 통해서 그 아이디어를 유추해 보려고 한다.
이 글의 시작은 "자유"님께서 내 블로그의 방명록에 남긴 질문에서 시작한다. 인용하자면
일반적으로 적분 가능한 함수 f(x)의 적분변환은 다음과 같이 정의된다.
한가지 알아둘만한 점은, 푸리에 변환에 들어가는 삼각함수는 생각해보면 직교 함수 집합을 이루어서 완비집합이 된다.(complete set) 따라서, 특정 조건을 만족하는 함수라면 푸리에 변환을 통해서 완전히 표현할 수 있다. 근데 라플라스 변환은 그렇지가 않다. 직접 적분을 해보면 알겠지만 적어도 실수 변수 영역에서는 직교하지가 않는다. 어쩌지?
이런식으로 직교하는 함수들의 집합은 여러가지로 찾아볼 수가 있는데, Legendre, Hermit, Bessel...등등, 듣기만해도 위대한 수학자들의 이름이 붙어 있다. 하지만 Legendre함수나 Hermit함수 등이 갖지 못한 라플라스-푸리에 변환의 독특한 장점이 있다. 그것은, 미분과 적분을 편하게 할 수 있다는 점이다. 만약 f(x)에 관한 푸리에 변환 표현식을 g(k)라고 하자. 그럼 f(x)를 미분한 것에 대한 푸리에 변환 표현식은 아주 간단하다. ik를 곱하면 된다. 물론 i는 허수단위이다. 라플라스 변환에서도 마찬가지로 어떤 변수 s를 곱하기만 하면 된다. 하지만, 여전히 그 발상법을 이해하는데는 도움이 되지 않는다. 그러나 이 사실이 어디서 나왔는지 생각해보면 언뜻 이해할 법도 같은데...
잘 생각해보면, 지수함수는 미분과 적분 연산에 대해서 불변이다. 다시말해, 지수함수는 미분연산자와 적분연산자에 대해서 고유함수가 되고, 그 고유값은 그대로 다시 변수가 된다. 다른 어떤 형태의 함수도 미분과 적분에 대해 불변인 함수는 없다. 이것은 선형 미분방정식을 라플라스 변환이나 푸리에 변환을 이용해서 나타냈을 때 미분방정식을 대수방정식으로 바꿀 수 있는 가장 중요한 이유가 된다. 고유값 방정식의 의미로부터 알 수 있는 것이다.
고유값 방정식이란 Ax=ax인 a와 x를 선형연산자 A에 대해서 찾아내는 것을 말한다. 이걸 어디에 쓰냐고? Af=g를 만족하는 f를 알아내고 싶을 때, g를 고유값들에 대해서 표현하면 f에 고유벡터들의 성분들이 어떻게 들어가야 하는지 알 수 있게 되는 것이다. 더군다나, f=x1+x2+x3이라고 할때, Ax1=a1x1등등인 관계가 있다면, Af=Ax1+Ax2+Ax3=a1x1+a2x2+a3x3이 되어서, g=b1x1+b2x2+b3x3인걸 알기만 하면 a1=b1, a2=b2, a3=b3인 것을 알게 되는, 대수방정식으로 바뀌게 되는 것이다.
따라서, 라플라스 변환이나 푸리에 변환을 해서 문제를 푸는 발상법은, 그 역사는 잘 모르겠지만, 미분연산자 자체를 연구하다가 미분연산자의 고유값 방정식을 만족하는 고유벡터를 알게 되어서 함수를 고유벡터를 이용해 표현하다가 나타나게 된 수학적인 방법론이라고 할 수 있겠다.
공학/물리학/수학 전공하는 사람이 아니면, 몰라도 사는데는 아무런 지장도 부담도 문제도 없는 라플라스 변환과 푸리에 변환. 가장 유명한 "적분 변환"중의 하나이다. 이건 어디에 쓰는 걸까? 아니, 일단, 왜 할까?
두 변환의 공통점은 지수함수를 곱해서 적분한다는 것이고, 차이점은 지수함수에 들어가는 숫자가 라플라스 변환에서는 실수이고 푸리에 변환에서는 허수라는 점이다. 어? 실수+허수는 복소수니까, 그냥 복소수를 지수에 올려서 곱해도 되지 않을까? 아이디어로 볼 때, 두 적분 변환은 완전히 똑같다. 게다가 라플라스와 푸리에의 생존 연도도 비슷하다. 대체 누가 이런 아이디어를 어떻게 생각해낸 걸까?
이런 궁금증은, 풀려고 하면 끝이 없으므로, 난 그냥 내가 아는 수학적 지식을 통해서 그 아이디어를 유추해 보려고 한다.
이 글의 시작은 "자유"님께서 내 블로그의 방명록에 남긴 질문에서 시작한다. 인용하자면
라플라스 변환법에 적분e^-st을 하는 이유 아십니까?누구나 해봄직한 질문인데, 왜 하필 e^-st인지는 나 역시 잘 모르겠다. 하지만 적어도 다른 함수들을 곱했을 때 어떤 일들이 일어나는지를 알아볼 수는 있지 않을까?
왜 하필 e^-st를 곱해서 적분을 하는거죠?
결과론적으로 라플라스를 이용해 복잡한 미분방정식을 대수적 기법으로 쉽게 푼다는 것은 알겠습니다만 도저히 그 발상법 자체가 이해가 안됩니다.
일반적으로 적분 가능한 함수 f(x)의 적분변환은 다음과 같이 정의된다.
g(y)=Integral over x from -inf to +inf of L(y,x)f(x)이때 L(y,x)는 적분 가능한 2변수 함수이다. 물론 적분 가능하다는 건 제곱해서 적분했을 때 그 적분이 발산하지 않는다는 것을 뜻한다. 그럼 L(y,x)에 뭘 넣으면 재미난 일들이 일어날까? 삼각함수나 지수함수는 빼자. 그건 이미 푸리에 변환과 라플라스 변환이라고 부른다.
한가지 알아둘만한 점은, 푸리에 변환에 들어가는 삼각함수는 생각해보면 직교 함수 집합을 이루어서 완비집합이 된다.(complete set) 따라서, 특정 조건을 만족하는 함수라면 푸리에 변환을 통해서 완전히 표현할 수 있다. 근데 라플라스 변환은 그렇지가 않다. 직접 적분을 해보면 알겠지만 적어도 실수 변수 영역에서는 직교하지가 않는다. 어쩌지?
이런식으로 직교하는 함수들의 집합은 여러가지로 찾아볼 수가 있는데, Legendre, Hermit, Bessel...등등, 듣기만해도 위대한 수학자들의 이름이 붙어 있다. 하지만 Legendre함수나 Hermit함수 등이 갖지 못한 라플라스-푸리에 변환의 독특한 장점이 있다. 그것은, 미분과 적분을 편하게 할 수 있다는 점이다. 만약 f(x)에 관한 푸리에 변환 표현식을 g(k)라고 하자. 그럼 f(x)를 미분한 것에 대한 푸리에 변환 표현식은 아주 간단하다. ik를 곱하면 된다. 물론 i는 허수단위이다. 라플라스 변환에서도 마찬가지로 어떤 변수 s를 곱하기만 하면 된다. 하지만, 여전히 그 발상법을 이해하는데는 도움이 되지 않는다. 그러나 이 사실이 어디서 나왔는지 생각해보면 언뜻 이해할 법도 같은데...
잘 생각해보면, 지수함수는 미분과 적분 연산에 대해서 불변이다. 다시말해, 지수함수는 미분연산자와 적분연산자에 대해서 고유함수가 되고, 그 고유값은 그대로 다시 변수가 된다. 다른 어떤 형태의 함수도 미분과 적분에 대해 불변인 함수는 없다. 이것은 선형 미분방정식을 라플라스 변환이나 푸리에 변환을 이용해서 나타냈을 때 미분방정식을 대수방정식으로 바꿀 수 있는 가장 중요한 이유가 된다. 고유값 방정식의 의미로부터 알 수 있는 것이다.
고유값 방정식이란 Ax=ax인 a와 x를 선형연산자 A에 대해서 찾아내는 것을 말한다. 이걸 어디에 쓰냐고? Af=g를 만족하는 f를 알아내고 싶을 때, g를 고유값들에 대해서 표현하면 f에 고유벡터들의 성분들이 어떻게 들어가야 하는지 알 수 있게 되는 것이다. 더군다나, f=x1+x2+x3이라고 할때, Ax1=a1x1등등인 관계가 있다면, Af=Ax1+Ax2+Ax3=a1x1+a2x2+a3x3이 되어서, g=b1x1+b2x2+b3x3인걸 알기만 하면 a1=b1, a2=b2, a3=b3인 것을 알게 되는, 대수방정식으로 바뀌게 되는 것이다.
따라서, 라플라스 변환이나 푸리에 변환을 해서 문제를 푸는 발상법은, 그 역사는 잘 모르겠지만, 미분연산자 자체를 연구하다가 미분연산자의 고유값 방정식을 만족하는 고유벡터를 알게 되어서 함수를 고유벡터를 이용해 표현하다가 나타나게 된 수학적인 방법론이라고 할 수 있겠다.
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