수학은 어쩌면 대칭성에 관한 학문일 수도 있는데, 수학을 공부하다보면 여러가지 흥미로운 대상을 찾을 수 있다. 그중 이해하기 가장 쉬운 대상은 점과 직선이다. 점과 직선에 대해서 다루는 수학의 분야가 바로 기하학이다. 기하학에서는 아무튼 점과 직선이 어떻게 만나고 헤어지는지 얘기해준다. 그래봐야 "점이 있다" "점 두개사이에 직선을 그을 수 있다" 등등의 이야기로 시작하겠지만. 어쨌든, 이런 점과 직선의 공간은 보통 숫자를 이용해서 표시한다. 하지만 숫자로 표현할 수 있는 점에는 한계가 있는데, 무한대가 숫자가 아니라는 것이다. 그래서, 그런 점과 그런 직선을 다루는 기하학이 있다.
보통의 기하학적 공간 + "여기서부터 무한히 먼 곳에 존재하는 점"과 "여기서부터 무한히 먼 곳에 존재하는 직선"이 있는 공간을 다루는 기하학이 바로 사영기하학(Projective Geometry)이다.

사영기하학 자체를 여기서 전부 설명하기엔 힘드니까 각자 교과서를 찾아보도록 하고, 몇가지 재밌는 것들만 이야기 해 보겠다. 일단 사영기하학의 "공간"에서는 유클리드 기하학에서 성립하는 모든 특징이 다 성립한다. 당연하겠다. 다 똑같고 무한히 먼 곳에 직선과 점을 추가했을 뿐이니까 당연히 성립할 것이다. 여기에 더 재밌는 것은 "쌍대성(Duality)"이 존재한다는 점이다.

쌍대성이란, A와 B라는 대상이 있을 때, 만약 A에 대해서 어떤 정리가 성립한다면 B에 대해서도 똑같이 성립한다는 것이다. 사영기하학의 쌍대성은 점과 직선 사이에 존재한다. "만약 어떤 정리(Theorem)가 점에 대해서 성립한다면, 그 정리는 직선에 대해서도 성립한다."는 정리가 증명되어 있다. 이건 쌍대성 정리라고 하는데, 사영기하학에서 매우 중요한 정리이다. 왜냐하면, 점에 대해서 안 풀리는 문제가 있을 때 그걸 직선에 대한 문제로 바꿔서 풀어도 괜찮다는 뜻이기 때문이다. 이런 보장이 되지 않는다면, 맘대로 점과 직선을 바꾸면 안된다.

2차원 공간에서 원점 (0,0)을 지나가는 임의의 직선의 방정식을 써 보자.
Ax + By = 0
여기서, "직선"은 위의 공식으로 표현되는 대상 그 전체이다. (x, y)는 변수이며, 아무 값이 들어가더라도 저 공식만 만족시킨다면 아무 문제가 없다. 하지만 A와 B는 직선을 결정하는 수이다. A나 B가 변한다면 직선도 변한다. 특정한 A와 B에 대해서 언제나 직선이 1개 결정된다. 그 반대로도, 직선 1개를 생각하면 그 직선에 해당하는 A와 B의 쌍이 정확히 1개 존재한다. 따라서 우린 직선 대신에 A와 B를 그 직선이라고 생각해도 된다. 그런데 A와 B는 실제로는 그냥 수니까 합쳐서 (A, B)라고 써도 된다. 그리고 이렇게 써 놓고 보니 점이랑 똑같이 생겼다. 그래서 직선 Ax+By=0 대신에 점(A, B)라고 해놓고 여러가지 작업을 할 수도 있다. 그게 쌍대성이다. (여기서 쌍대성의 정리를 증명한 것은 아니다.)

여기서 쌍대성의 의미를 이해하고 넘어가자. Ax+By=0이라는 공식에서 찾을 수 있는 것은 이 공식을 만족하는 직선 (x,y)는 원점에서 점 (A, B)를 잇는 직선과 수직으로 만난다는 점이다. 만약, 반대로 (x, y)를 고정시켜놓고 (A, B)를 바꾸더라도 마찬가지 관계가 성립한다. 우린 점을 (x, y)로 정의하고 직선을 (A, B)로 정의했지만, 실제로는 점과 직선의 역할을 바꾸더라도 문제가 없음을 확인할 수 있다.

이제, 흔히 말하는 벡터 공간을 생각해 보자. 벡터 공간이란 그 안에 있는 원소들에 대한 덧셈과 길이 변환이 잘 정의된 공간이다. 점들의 공간을 벡터 공간으로 정할 수 있는데, 가령 (a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)와 같이 덧셈을 정의하고 k(a,b) = (ka, kb)와 같이 길이 변환을 정의한다면 점들의 공간은 벡터 공간이 된다. (다르게 정의해도 조건만 만족한다면 상관 없다.)

벡터 공간에서도 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간을 찾을 수 있다. 어떤 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간이란 다시 벡터 공간인데, 원래의 벡터 공간과 같은 성질을 갖는 공간이다.

우선 선형 범함수(linear functional)라는 개념을 알아야 한다. 범함수(functional)란, 벡터 하나를 주면 그에 대해서 수 하나를 내놓는 함수이다. 가령 벡터 (a, b)에 대해서 f(a, b) = a+b 라고 주는 것 또한 범함수에 속한다.
그중에서 선형 범함수는 선형 관계가 성립하는 범함수이다. 즉, 범함수 f가 두 벡터 v, w에 대해서 f(v+w) = f(v)+f(w)이고 실수 k에 대해서 f(kv) = kf(v)가 성립하는, 그런 참 괜찮게 생긴 애들이다.

그런데 범함수들 역시 벡터 공간이 된다. 가령, 두개의 범함수 f, g가 있다고 하면 (f+g)(v) = f(v) + g(v)라고 쓸 수 있고, (kf)(v) = k(f(v))가 되므로 덧셈과 길이 변환이 잘 정의된다.

어떤 벡터 공간에 대해서, 그 벡터 공간에 주어진 선형 범함수들의 공간은 그 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간이 된다. 일단 선형 범함수들의 공간이 벡터 공간이 된다는 사실은 쉽게 알았는데, "쌍대성"은 어떻게 생각해야 할까?

간단히, 쌍대 벡터 공간이라고 해 놓고서 그 쌍대 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간이 원래의 벡터 공간이 된다는 것을 알아보자. 뭐, 간단하다. f라는 범함수 대해서 v라는 함수는 v(f) == f(v)로 정의하면 된다(!)

그럼 앞에서 했던 얘기들을 그대로 다 할 수 있다. (v+w)(f) = f(v+w) = f(v) + f(w) = v(f) + w(f)라든가.

이런 쌍대성의 경우에는, 앞에서 했던 점-직선 사이의 대칭성을 그대로 적용할 수 있다. 즉, 만약 v를 점으로 생각한다면 f는 직선이 된다. (그 반대도 마찬가지.)

물리학에서도 비슷한 얘기가 나오는데, 입자-파동 이중성의 원리에 등장하는 불확정성 원리이다. 불확정성 원리에서는 쌍대 관계에 있는 값은 동시에 둘 다 정확히 측정할 수 없다고 한다. 운동량과 위치는 쌍대 관계이기 때문에 둘 다 동시에 정확히 측정할 수 없다. 잘 생각해보면, "위치"는 점에 해당하고 "운동량"은 직선에 해당한다는 것을 알 수 있다. (물론, 그 반대로 생각해도 된다. 운동량이 점이고 위치가 직선이라도 별 문제는 없다. 왜냐면? 쌍대니까.)

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추가
Kwak and Hong 책을 보니까 쌍대 공간은 선형 변환의 Transpose의 일반화된 형태라고 설명하고 있다.

더 자세한 내용은 댓글로...

by snowall 2010. 9. 7. 23:13
  • Lex 2010.09.08 12:37 ADDR EDIT/DEL REPLY

    벌써 올려주셨군요. 감사합니다. (--) (__) (--) ^^
    그럼, 정독 후에 다시 댓글을.... ^^;

    • snowall 2010.09.08 12:41 신고 EDIT/DEL

      네. 아마 이글 읽어도 이해가 안될거예요. 긴 댓글 토론을 위한 발제문 정도로 생각하고 읽어주세요 ㅋㅋ

  • Lex 2010.09.09 20:19 ADDR EDIT/DEL REPLY

    일단 배경지식이 부족해서 긴 댓글 토론에는 무리가 있군요. ^^;
    제가 나름대로 이해한 걸 정리해보면

    "임의의 벡터공간 V의 쌍대 공간이란, V위의 범함수들의 집합이다.
    그리고, 이 범함수들의 집합은 벡터공간이며 선형성을 가진다."

    입니다.

    그런데, 마지막 부분에서

    "어떤 벡터 공간에 대해서, 그 벡터 공간에 주어진 선형 범함수들의 공간은 그 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간이 된다. "



    "임의의 벡터공간 V의 쌍대벡터공간의 쌍대벡터공간은 다시 V이다."

    이렇게 이해해도 되는건가요?

    그리고, 이런 쌍대성은 속성인가요? 아니면, 조건에 의한 현상인가요?

    • snowall 2010.09.09 23:03 신고 EDIT/DEL

      어떤 벡터공간에 대해, 그 벡터 공간에 대한 범함수들의 집합 중에서 선형 범함수들의 공간이 그 벡터공간의 쌍대 공간입니다.
      (For a vector space, the dual vector space of the vector space is a set of linear functionals, which are included in functionals of the vector space)

      쌍대성은 별 관련 없어 보이는 두 벡터 공간을 연결하는 특징입니다. 현상은 아니죠.

  • Lex 2010.09.10 11:18 ADDR EDIT/DEL REPLY

    제가 보는 책에서 아래와 같은 내용이 있습니다.

    "임의의 벡터공간 V의 쌍대 벡터 공간을 V*라 하면, (V*)*는 V**로 표현할 수 있으며 이를 Double dual이라 한다."

    그런데, 쌍대성을 고려해보면, (V*)* = V로 돌아와야 하는거 아닌가요?

    만약에 V = V**이 성립한다면, 굳이 Double dual이라는 걸 왜 사용하죠?

    • snowall 2010.09.10 12:16 신고 EDIT/DEL

      V=V**이 항상 되는지 안되는지는 검토를 해봐야겠네요 -_-
      어떤 쌍대공간V*가 있을 때, V*의 쌍대공간 중 가장 찾기 쉬운건 원래의 V이긴 한데, 쌍대공간이 유일한지 어떤지는 잘 모르겠네요
      만약 유일하다면 항상 V=V**이고, Double dual은 그냥 큰 의미가 없게 됩니다.

    • snowall 2010.09.10 12:29 신고 EDIT/DEL

      교재는 어느 책으로 공부하시나요?

    • pjw 2014.07.08 17:54 EDIT/DEL

      선대와군 14.6에보면 double dual인 경우 natural isomorphism이 기저에 관계없이 존재한다고 하네요.

  • Lex 2010.09.10 14:14 ADDR EDIT/DEL REPLY

    http://www.yes24.com/24/goods/1469688?scode=032&srank=1

    "선형대수와 군"
    이인석 | 서울대학교출판부

    입니다.

    이왕 하는거 좀 제대로 해보려고 고르고 골라서 샀는데, 상당히 어렵네요.
    제가 앞으로 보려는 책이나 논문이 선형대수를 기본 배경지식으로 깔고 있기 때문에 봐야하긴 하는데, 어느 정도 수준까지 공부해야하는지도 잘 모르는 상태네요. 일단, 차근 차근 여유를 두고서 보긴 하는데, 너무 여유를 부린다는 생각까지 드네요.^^ㅋ

    • snowall 2010.09.10 14:53 신고 EDIT/DEL

      Kwak and Hong 교재가 괜찮던데요 (제가 배운 책이라...-_-;)

  • Lex 2010.09.10 20:38 ADDR EDIT/DEL REPLY

    훔... 영어군요. ㅡㅡ;
    분명, 저자는 한국사람 같은데.
    값도 좀 나가고.ㅋ
    일단 리스트에 넣어두도록 하죠. 좋은 책은 많을수록 좋으니까요. ^^

    • snowall 2010.09.11 02:38 신고 EDIT/DEL

      포항공대 수학과 교수님들이 쓰신 책입니다.
      수학책은...지극히 주관적인 의견이지만, 영어 원서가 더 좋아요 -_-;

  • 이성식 2010.10.01 12:29 ADDR EDIT/DEL REPLY

    글 잘읽었습니다. 감사드립니다. 몇가지 질문이 있어서 댓글달아요.
    무지한 저에게 답변을 부탁드립니다. 꾸벅~
    1. funtional 의 정의를 f:V -> R 로 이해해야 되는건가요.?
    전 지금껏 funtional 은 함수의 함수 정도로만 이해하고 있는데요. 둘은 다른건지요?

    2. 불확정성의 원리인데요. 물리에서 쌍대관계의 두 물리량은 동시에 측정할수 없다라는 말로부터
    쌍대공간을 갖는(이게 맞는 표현인지 모르겠네요) 공간 V의 물리량은 반드시 쌍대공간에 대응하는
    물리량을 갖는다고 해석할 수 있는건가요? 그러니까 물리량 A∈V 이면 그에 대응하는 물리량B∈V*
    가 반드시 존재한다 라고 볼수 있는지요?

    • snowall 2010.10.01 12:57 신고 EDIT/DEL

      원래 함수는 집합의 원소에 집합의 원소를 대응시키는 규칙이죠. 그중, 공역이 실수(또는 임의의 Field)이면 Funtional이 됩니다.
      함수의 함수로 이해해도 문제 없습니다. 그게 그거니까요.

      더 자세한 설명은 따로 글로 써야겠네요 --;

      물리량과 쌍대공간에 대해서는 생각좀 더 해보고 답변해드릴게요. 제가 지금까지 배우기로는, 모든 물리량이 쌍대 공간에 해당하는 물리량을 갖고, 관찰 가능한걸로 알고 있어서요. 좀 찾아보고요

  • 이성식 2010.10.02 13:22 ADDR EDIT/DEL REPLY

    답변 감사드립니다. :) 일하면서 틈틈히 공부는 하는데 전공이 아니라 벅찰떄가 많아요 :(
    인터넷이 참 좋은 공간인것 같습니다. (이런 저에게 있어서는요) 좋은 주말 되세요 ~

    • snowall 2010.10.02 22:35 신고 EDIT/DEL

      저도 일하면서 틈틈히 쓰고 있어요
      힘내세요~

  • Lex 2010.10.08 11:38 ADDR EDIT/DEL REPLY

    처음 질문을 드릴 때, 고민한 것이 수단이었습니다.

    그래서, 메일로 질문을 드렸었습니다.

    그 뒤에도 역시 메일을 쓸까 하다가 너무 단순한 문제는 좀 부담이 되지 않을까 하여,

    댓글로 종종 남겼었는데, 그게 다른 방문자들에게는 폐가 됐던것 같네요.

    정중히 사과드립니다. (--)(__)(--)

    그럼, Copy and Paste. ^^ㅋ

    L:V->W 일때,

    dim(imL) == Rank of L

    라고 하는 경우가 있던데, 맞는건가요?

    Image는 V의 기저가 관여하기 때문에, 저 표현법은 잘못된게 아닌가요?

    물론, 저 표현이 맞는 경우가 있고, 그 경우에 대한 조건을 써준다면 맞다고 생각되지만,

    덜렁 저렇게만 쓰여있다면, 잘못된거라고 생각합니다만... ^^

    • snowall 2010.10.08 12:33 신고 EDIT/DEL

      ㅋㅋ감사합니다.

      max(dim(im(L)), dim(V)) = Rank(L)

      이렇게 쓰면 맞는것 같은데요.
      수학을 공부하고 있다면, 어떤 주장에 대해서 "증명"해보는 습관을 들여보는게 좋습니다.

    • Lex 2010.10.09 20:26 EDIT/DEL

      가급적 증명은 해보고 넘어가려고 노력하고 있습니다.
      오히려 증명을 하지 않고 넘어가면 불안해지기까지 하니까요. ^^;
      다만, 그 증명에 대한 확식을 얻기 위해서는 그 증명의 결과에 동의해주는 사람(여기서는 snowall님)이 필요합니다. ^^ㅋ

      그럼, 다시 문제의 이야기로 넘어가겠습니다.
      제가 잘못 이해하고 있는지도 모르겠습니다만, Rank라는 개념은 선형사상, 즉, Linear map을 중심으로 만들어진 개념이고, Kernal과 Image는 선형사상과 함께 정의역과 치역을 중심으로 만들어진 개념이라고 생각합니다.

      예를 하나 들어 설명해보겠습니다.

      컬럼벡터들이 일차독립인 5x5 행렬 A가 있다고 합시다.

      그렇다면, Rank(A) = 5가 될 것입니다.

      그리고, 행렬 A를 선형사상으로 하는 L : V->W 가 있다고 하죠.

      여기서 V는 F^5의 부분공간으로 3개의 기저 (1, 0, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0, 0) (0, 0, 1, 0, 0)

      을 가지는 3차원의 벡터공간이라고 하면,

      dim(imL) = 3이 되는 것을 볼 수가 있습니다.

      따라서, dim(imL) != Rank of L

      인 경우가 생깁니다.

      여기까지가 제가 이해한 것입니다.

      그리고 제가 내린 결론은

      V는 F^n일 때만, 즉, V가 F^n의 부분공간이 아닌 그 자체일 때만,

      L:V->W 일때,

      dim(imL) == Rank of L

      이 내용이 성립한다고 생각합니다.

      그런데, 답변 주신 내용에서는 항상

      dim(V) >= dim(im(L))

      이므로, 역시나

      정의역의 정의가 없이는 성립할 수 가 없다고 생각합니다.

      제가 질문에서 언급한 조건이라는 것은 정의역의 정의였습니다.

      제가 생각하고 이해한 것이 맞는건가요?

      그게 궁금합니다.

    • snowall 2010.10.09 22:35 신고 EDIT/DEL

      다 맞는 얘기입니다.

      그렇긴 한데, 정의역을 정의하지 않고 연산자를 정의할 수 있나요? 그건 불가능하죠. 따라서, 어딘가에 정의역에 대해서 잘 정의가 되어 있을거예요.

      나머지는 새 글로 돌립니다.

  • ㄹㄹㄹ 2015.04.28 16:30 ADDR EDIT/DEL REPLY

    duality에 대해 헷갈렸는데 잘 보고 갑니다.