함수? 2

벡터를 처음 배울 때, 화살표를 갖고 배운다. 그리고 가장 쉽게 그릴 수 있는 2차원 평면 위에 있는 화살표를 갖고 배운다. 2차원 화살표는 2개의 수로 표현할 수 있다. (x, y) 처럼. 만약 2개의 화살표가 있다면 더할 수 있다. (x, y) + (w, z) = (x+w, y+z) 처럼. 이것은 실수(또는 복소수)에서만 정의된 +라는 연산의 정의를 벡터에 대해서 확장한 경우이다. 이걸 다시 임의의 n차원에 대한 벡터로 확장하고, n이 무한대로 갈 경우에 대해 생각한다. 그럼 벡터의 각 성분은 어떤 수열이 될 것이다. 수열의 첨자 n을, 지난번에 말했듯이 연속성을 갖도록 새롭게 정의하면, 이제 f(x)라 부르는 함수가 사실은 우리가 잘 알던 화살표의 한 형태라는 사실을 알게 된다.^[각주:1]

그럼, 하나의 화살표에 하나의 수를 대응시키는 규칙이 있다면, 그것 또한 함수이다. 그리고 그걸 Functional이라고 부른다.

가장 쉽게 생각할 수 있는 예제로는 사영(Projection)이 있다. 이건 어떤 벡터A의 k번째 성분을 선택하는 함수이다. 임의의 벡터 A에 대해서, f(A) = Ak라고 정의하면 된다. 만약 벡터A가 수열이 아니라 연속적인 변수를 갖는 함수F로 주어져 있다면 k대신에 특정한 변수 a를 써서 f(F) = F(a)라고 정의하면 된다.

또 다른 예제로는 내적(Inner product)이 있다. 이것은 특정한 벡터 하나를 정해놓고, 그 벡터와 내적한 값을 함수값으로 선택한다. 가령, V가 정해져 있다고 하면 f(A) = V$\cdot$A 라고 정의한다. 벡터가 수열이 아니라 연속 함수로 주어지는 경우에는 덧셈이 아니라 적분으로 그 값을 계산해야 하지만, 계산이 복잡해질 뿐 그 본질적인 측면에 있어서는 전혀 변하지 않는다.

가장 유명한 Functional은, 이 블로그에서도 여러번 얘기했던 적이 있는 라그랑지안(Lagrangian)이다. 라그랑지안은 위치와 위치의 도함수에 대한 범함수이다. 그리고 위치는 시간에 대한 함수이다.^[각주:2]

이제 범함수의 미분에 대해서 생각해 보자. 사실 범함수의 미분은 편미분의 일반화된 형태이다. 미분을 처음 배울 때, f(x)에 대해서 f(x+D)가 f(x)와 얼마나 차이가 날 지 생각해서, df/dx = (f(x+D)-f(x))/D로 정해놓고 D를 0으로 보내는 극한을 취해서 계산한다고 배웠다. 편미분은 x가 하나의 수가 아니라 벡터로 주어져 있을 때, 그 벡터중에서 다른 성분은 다 고정되어 있고 어떤 k번째 성분에 대한 함수라고 생각하고 미분을 계산한다. 그럼 k가 1부터 n까지 다 등장하므로, 편미분한 함수들을 다 긁어모으면 하나의 벡터가 등장한다. 여기에 다시 어떤 방향으로 움직이는지에 대한 정보를 알려 주면, 그 방향으로 향할 때의 도함수를 구하게 된다.

범함수의 미분은 편미분의 첨자를 연속적으로 일반화 시킨 형태이다.

1. 그리고 그게 사실이건 아니건 상관 없다는 것도 사실이다. 맘에 안들면 그냥 그렇게 정의했다고 치면 되니까. 다르게 정의해도 상관 없다. 단, 다른 수학자들이랑 얘기할 때 어떻게 정의했는지 항상 잘~ 설명해야 덜 골치아플 것이다. [본문으로]
2. 물론 라그랑지안은 선형 범함수가 아니다. [본문으로]