도화선으로 임의의 시간재기 증명1

f(x) = t
x<y이면 f(x)<f(y)임이 보장된다.

a(1)+b(1) = 1이라 하자
조건1) a(n)+b(n) = a(n-1) - b(n-1)
조건2) a(n)>b(n)>0
이 조건들이 모든 자연수 n에 대해서 항상 만족된다고 하자.

그럼, b(n)의 합은 1/2에 수렴한다.

증명
조건1)로부터 a(n-1)-a(n) = b(n-1)+b(n)
조건1)과 조건2)로부터 a(n-1)-a(n)>0이므로, a(n-1)>a(n) 이다.
따라서 이 수열은 단조감소 수열이다.
단조감소 수열이 아래로 유계이므로 이 수열은 수렴한다.
a(n)>b(n)인데 a(n)이 수렴하므로 b(n)도 수렴한다.
b(1)+b(2)+ ... + b(n) = B(n) 이라 하면
2B(n) - b(1) - b(n) = a(1)-a(2)+a(2)-a(3)+a(3)-a(4)+ ... - a(n-1) + a(n-1) - a(n) = a(1) - a(n)

n을 무한대로 보내는 극한을 취하면
2B - b(1) = a(1)
2B = a(1)+b(1) = 1
B = 1/2

증명 끝.

위의 사실로부터, 도화선으로 시간재기 문제에서, 짧은 쪽이 다 탈 때마다 계속해서 임의의 중간 지점에 불을 붙이는 짓을 무한히 반복할 경우, 그때 측정되는 시간이 1/4시간이라는 사실을 증명할 수 있다.

(계속...)