"세슘 분유"사건을 다룬 글에서 띄엄띄엄 들어오는 방사성 물질에 대해 이야기했었다. 연속적으로 방사성 물질이 들어온다면 어떻게 될까?

수식은 다음과 같이 시작할 수 있다.

방사선량의 변화량 = 들어오는 양 - 붕괴해서 줄어든 양


멋지게 영어와 그리스 기호를 섞어서 쓴다면 다음과 같이 된다.


1차 미분 방정식인데 상수항이 있어서 아주 약간 괴롭지만, 답은 다음과 같다.


의심스러우면 직접 미분해보자.


위의 식은 앞에서 계산했던 덧셈 공식을 갖고서도 계산할 수 있다. 일단 다시한번 불러오자.


여기서,

와 같이 구간을 연속화 시켜줘야 한다. 그리고


이렇게 고쳐줘야 한다. 왜냐하면 앞서의 수식에서 는 "1회당 유입되는 양"으로 정했었기 때문에, 연속화 시키기 위해서 여기서는 그 형태를 정의에 맞게 고쳐줘야 하기 때문이다. 이제 고등학교때 열심히 공부한 내용으로 t를 고정한 상태에서 n을 무한대로 보내는 극한을 취하면



이런 공식이 유도된다. 극한을 계산하는 중간 과정은 누군가 문의하면 덧붙일 생각이다. 로피탈 정리를 사용하면 간단하고, 로피탈 정리를 사용하지 못한다면 뭐 그닥 어려울건 없지만 조금 더 복잡해진다.



by snowall 2012. 8. 3. 10:23