이런 방정식이 있다.

여기서 z는 복소수이고, i는 -1의 제곱근인 허수단위이다. 즉, 네제곱해서 -1이 나오는 복소수를 찾으라는 것이다.


풀이1

a와 b를 실수라고 할 때, 복소수 z는 두 실수를 이용하여 나타낼 수 있다.

복소수의 상등에 의해 실수부분과 허수부분이 같아야 하므로


b를 a에 대입하면 (a를 b에 대입하든가)

이 때, a와 b의 부호가 다르면 2ab=1>0이 성립되지 않으므로 a와 b의 부호가 같아야 한다. 따라서.



근이 두개인 이유는 2차방정식이니까.


풀이2

오일러 공식에서,

일단, 크기에서 r=1 (r>0이므로 r=-1은 제외한다.)


첫번째 등호에서,

따라서

이 경우


두번째 등호에서,

이 경우


풀이3

근의 공식 이용.

근의 공식을 그대로 적용하면


두번째 줄에서는 무에서 유를 창조하는 인수분해가 사용되었다.


물론 풀이1과 풀이2의 답은 같다. 드 무아브르의 공식을 잘 사용해 보자.



by snowall 2013.02.21 00:37
  • goldenbug 2013.02.21 18:47 ADDR EDIT/DEL REPLY

    음..... 허수의 곱을 허수평면에서의 회전으로 생각한다면.....
    이 문제의 답은 길이가 1이고, 3 배각이 π/2인 숫자겠네요. ^^

    • snowall 2013.02.21 19:12 신고 EDIT/DEL

      아뇨, 45도인데요..ㅎㅎ

    • goldenbug 2013.02.21 19:20 EDIT/DEL

      아..... 3배각이 아니라 2배각이군요. 제곱이니까...^^;;;
      죄송... Z^3 = i 로 착각을...^^;

  • 하루 2013.02.21 20:19 ADDR EDIT/DEL REPLY

    (-1)^1/2 , (-1)^1/3 는 어떻게 정의하는게 좋을까요...? 사이트가 폐쇄되서
    http://blog.naver.com/at3650/40104053365 에 제가 그냥 간략하게 요약해놓은 걸로 마무리했는데... 아직까지도 불확실해서요..(나중에 때가 되면 배운다고 해서 손을 놓긴 했지만...ㅎ)

    • snowall 2013.02.21 21:39 신고 EDIT/DEL

      일단 -1의 세제곱근은 -1이 있으니까 굳이 따로 정의할 필요가 없겠죠. 아마 -1의 세제곱근 문제는 옛날 사람들도 별로 신경쓰지 않았을 거예요. 물론 복소수 영역에 있긴 하죠. -1의 제곱근은 실수 집합에 없다는 걸 증명할 수 있으므로, 대수적으로는 -1의 제곱근을 실수 집합에 끼워넣은 후, 대수적 완전체(algebraic closure)로 만들어 주면 복소수가 됩니다. 원래 잘 정의 돼요. ㅎㅎ

  • 2013.03.06 23:41 ADDR EDIT/DEL REPLY

    오 감사합니다 ㅋㅋ