다음의 세 글을 읽었다면 이제 수도꼭지의 온도 변화 문제에 도전할 수 있다.

http://snowall.tistory.com/3420 - 피자를 먹고 나면

http://snowall.tistory.com/3421 - 겹친 부분의 넓이

http://snowall.tistory.com/3422 - 겹친 원의 넓이2


http://www.airdelights.com/Z81000.html


위와 같이 생긴 수도꼭지가 있다. 어쨌거나 손잡이가 1개 달린 수도꼭지는 저렇게 생겼다. 위아래로 움직여서 물의 양을 조절하고 좌우로 움직여서 온도를 조절하는 구조이다. 별것도 아니긴 하지만, 오랜시간동안 검색한 끝에 저런걸 영어로 single lever faucet이라고 부른다는 사실을 알아내고 그 안쪽이 어떻게 생겼는지 알아냈다.



http://www.diytrade.com/china/pd/7763720/Single_lever_ceramic_cartridge.html


이게 바로 그 핵심 부품이다. 이것만 봐서는 도저히 뭘 어떻게 해야하는지 알수가 없는데, 실제로는 다음과 같이 생겼다.


왼쪽에 있는 그림이 위쪽에 붙은 부분이고, 오른쪽에 있는 그림이 아래쪽에 붙는 부분이다. 그리고 서로 동심원으로 맞물리게 되어있다. 가운데 콧구멍처럼 뚫려있는 두개의 동그란 구멍이 물을 공급하는 부분인데 하나는 온수, 하나는 냉수를 공급한다.


위의 그림이 복잡하다면 중요한 부분만 따로 그려볼 수 있다.



수압과 온도에 관한 입력은 다음과 같이 사용할 수 있다.

http://www.tradekorea.com/sell-leads-detail/S00030589/Faucet_ceramic_cartridges__open_type_.html


위의 링크에 따르면 사용하는데 권장하는 온도와 압력은 다음과 같다.

Max. Temperature:  90℃ (194℉)
Min. Temperature: 3.9℃ (39℉)
Recommended Temp:  3.9℃~82℃(39℉~180℉)

Flow Rate
Test Condition: Faucet without resistance
Water Pressure-------Hot Water (L/min)-------Cold Water (L/min)--------Mixing (L/min)
            1bar-----------------22.92----------------------22.9--------------------24.72
            2bar-----------------35.64----------------------32.4--------------------38.88
            3bar-----------------43.8 ----------------------40.98-------------------48.84


대충 수치를 알았으니, 이제 모델링을 해보자. 미국 특허 US6,892,761 B2에 의하면


41번 부품이 40번 부품과 맞물려서 돌아가는데, 중심축을 두고 구멍이 서로 엇갈리면서 뜨거운 물과 차가운 물이 섞여서 나오도록 되어 있다.


그럼 간단히 그림을 그려보면 다음과 같이 될 것이다.


놀이동산의 풍선 아니다. 아이스크림 콘도 아니다. 빨간색 원은 뜨거운 물이 나오는 구멍, 파란색 원은 차가운 물이 나오는 구멍이다. 노란색 테두리의 투명한 원은 위로 물이 빠져나가서 수도꼭지로 방출되는 부분을 나타낸다. 초록색 막대기는 노란색 원의 위치가 대충 어디인지 알려주기 위한 보조선이다. 세 원의 반지름은 같다고 치자. 노란색 원이 왔다갔다 하는 반지름은 정확히 알 수는 없지만, 각도 T가 최대값과 최소값이 각각 45도씩 양쪽으로 움직일 수 있다는 것으로 봐서는, 노란색 원이 왔다갔다 하는 반지름의 길이 R은 세 원의 반지름보다 배라고 생각해도 된다.



그런데 이건 한쪽만 나타낸 것이므로 중심각 90도에서 T를 빼야 반대쪽 각도가 나온다. 어쨌든 T와 90-T를 이용해서 양쪽의 물 나오는 부분의 면적이 얼마나 되는지 알 수 있다. 즉, 한쪽은 cos(T)이고 한쪽은 sin(T)으로 공식을 쓰면 된다.


물이 흘러나오는 양은 면적과 압력에 비례하는데, 압력은 양쪽이 같다고 치고, 그럼 면적이 물의 양을 결정한다. 뜨거운 물과 차가운 물을 섞었을 때 최종 온도는 두 물 사이의 면적에 비례하므로, 만약 뜨거운 부분의 면적을 Sh, 뜨거운 물의 온도를 th, 차가운 부분의 면적을 Sc, 차가운 물의 온도를 tc라고 한다면 최종온도 t는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 물론, 그냥 평균이다.


소문자로 된 이유는 위에서 각도를 T로 두었기 때문에 혼란을 피하기 위해서 소문자 t를 사용했다.


반지름 R을 1이라고 두고, th와 tc를 어떤 중심온도 t0=(th+tc)/2에 대한 변화값으로 다시 정의한다면, 위의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.


이제 그래프를 그려볼 때가 되었다. 이 작업에는 MS에서 만든 회심의 역작인 Microsoft Mathematics를 사용하려고 한다.


http://www.microsoft.com/ko-kr/download/details.aspx?id=15702

닷넷프레임워크 3.5와 다이렉트X를 왜 설치해야 하는지 잘 모르겠지만, 시키는대로 했다.



이제 그래프를 보면 90를 움직이는 동안 +1에서 -1까지 물의 온도가 변한다는 사실을 알 수 있다. 


이 그래프를 통해서 알 수 있는 사실은, 수도꼭지가 가운데 부근에서 움직일 때 거의 직선형으로 움직인다는 점이다. 지금까지 가정한 사실들이 그다지 틀리지 않는다면, 수도꼭지 온도를 가운데 부근에서 정확히 원하는 수준으로 맞추기 어려운 것은 수도꼭지 설계에서 나타난 문제라기보다는 인체의 반응이 온도에 따라 다르기 때문에 나타나는 현상으로 보인다.

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http://redtea.kr/pb/pb.php?id=fun&no=5850

안 믿는 사람이 있다. 조만간 실험으로 검증해주겠어.

by snowall 2013.11.10 01:38
  • 하루 2013.11.15 14:28 ADDR EDIT/DEL REPLY

    수학적으로 모델링만 잘 되면 어디더든 잘 쓸 수 있군요..
    (하지만, 이런 주제를 잡기조차 막연하고 어렵다는거;;ㅠ)

    • snowall 2013.11.16 15:16 신고 EDIT/DEL

      궁금한거 하나 붙들고 끝까지 파고들면 돼요
      이것도 사실 베르누이 원리를 적용해서 좀 더 개선해야 합니다. ㅎㅎ

  • 콜라두잔 2014.04.06 16:33 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비슷한 문제로 고민한 적이 있었는데, 저는 인체가 자극에 반응하는 것이 logarithmic하기에 그에 따라 체온에서 먼 온도에서는 예민하지 않게 반응하고(또한 우리가 원하지 않는 온도이기에 무심하게 수도꼭지를 돌리고) 가까운 온도에서는 더 예민하게 반응하지 않나..하는 생각을 해 봤었습니다.

    • snowall 2014.04.06 22:33 신고 EDIT/DEL

      로그라면 단조 함수이므로 뜨거운 쪽에서 민감하든지 차가운 쪽에서 민감하든지 해야지 싶은데요...

  • 콜라두잔 2014.04.11 01:46 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    체온을 중심으로 양 방향으로 로그스케일로 가지 않나..싶어요. 함수 자체가 로그라고 볼 수는 없겠지마는

    • snowall 2014.04.11 18:59 신고 EDIT/DEL

      인체의 감각이 로그스케일로 갈 것 같긴 한데요, 피부의 냉점과 온점의 분포 밀도가 달라서 감도는 다를 것으로 보입니다.