(Nature Materials기사)
Möbius strip unravelled
Mathematicians solve 75-year-old mystery of infinite loop's shape.

Louis Buckley


The Möbius strip has inspired artists — such as Max Escher — as well as mathematicians.
M.C. Escher
Eugene Starostin's desk is littered with rectangular pieces of paper. He picks one up, twists it, and joins the two ends with a pin. The resulting shape has a beautiful simplicity to it — the mathematical symbol for infinity (infinity) in three-dimensional form. "Look," he says, as he traces his finger along its side, "whatever path you take, you always end up where you started."
유진 스타로스틴의 책상은 직사각형 종이로 어지럽다. 그중 하나를 골라서 꼬아서 양쪽을 핀으로 연결한다. 그 결과는 아름답고 단순한 것이다. 수학적 기호 "무한대"의 3차원 형태가 된다. "봐라" 그가 그것의 가장자리를 손가락으로 따라가면서 얘기하기를, "너가 어느 길을 고르든지 항상 당신이 시작한 점에서 끝날 것이다"

Discovered independently by two German mathematicians in 1858 — but named after just one of them — the Möbius strip has beguiled artists, illuminated science lessons and stubbornly resisted definition.
두명의 수학자가 1858년에 독립적으로 찾아낸, 그러나 나중에 발견한 사람 이름이 붙은, 뫼비우스 띠는 예술가들을 속이고, 과학적인 지식을 꾸미고, 정의에 강하게 저항해 왔다.

Until now, that is. Starostin and his colleague Gert van der Heijden, both of University College London, have solved a conundrum that has perplexed mathematicians for more than 75 years — how to predict what three-dimensional form a Möbius strip will take.
런던 대학의 스타로스틴과 거트 반 데르 하이덴이 75년 넘게 수학자들을 곤란하게 만든 수수께끼를 해결해 버렸다. 뫼비우스 띠가 3차원 형태를 어떻게 가지는지 예측하는 것이 가능하게 될 것이다.

The strip is made from what mathematicians call a 'developable' surface, which means it can be flattened without deforming its shape — unlike, say, a sphere.
이 띠는 수학자들이 "가전면"이라고 부르는 형태를 만든다. 즉, 구(sphere)와는 다르게 그 형태의 변함 없이 펼칠 수 있다는 것을 의미한다.

When a developable surface is formed into a Möbius strip, it tries to return to a state of minimum stored elastic energy, like an elastic band springing back after being stretched.
가전면이 뫼비우스 띠가 되면, 그 가전면은 탄성 에너지를 최소한으로 저장하는 상태로 가기 위해 시도한다. 마치 고무줄이 늘어나면 줄어드는 쪽으로 되돌아 가듯이 말이다.

But no one has been able to model what this final form will be. "The first papers looking at this problem were published in 1930," says Starostin. "It seems such a simple question — children can make these things — but ask the experts how to model this shape and we've had nothing."
하지만 아무도 그것이 최종적으로 어떤 형태가 되는지에 대한 모형을 만들지 못했었다. 스타로스틴이 말하기를, "이것은 1930년에 출판된 이 문제를 풀어본 첫 논문이다. 어린애도 해볼 수 있을 만큼 무진장 쉬운 질문같아 보이지만, 전문가들도 어떻게 될지 아무것도 모른다"

Lost equations

The duo solved the problem using a set of unpublished 20-year-old equations. "If you try to write out equations for the shape of the strip without these tools it's a formidable task," says Starostin. "I tried it and it didn't work."
두사람은 출판되지는 않은 20년된 방정식들을 이용하여 문제를 해결했다. "만약 당신들이 이 방정식들 없이 뫼비우스 띠가 이루는 형태를 표현하는 방정식을 쓰려고 했다면, 그건 정말 무시무시한 일이다. 내가 해봤는데 잘 안되더라"

With the equations, the two researchers showed that the strip's shape depends on the length and width of the rectangle it is made from.
그 방정식들을 이용하여, 두 과학자는 뫼비우스 띠의 모양이 원래 만들 때 사용한 직사각형 종이의 길이와 폭에 의존한다는 사실을 보였다.

Starostin wants to alert other scientists to the existence of these forgotten mathematical tools. "This is the first application of this mathematical theory. Other communities, such as experts in mechanics, don't know of its existence."
스타로스틴은 다른 과학자들이 잊혀진 수학적 도구의 존재를 알리고 싶어한다. "이것은 이 수학 이론의 첫 응용이다. 가령 역학 전문가같은 다른 사람들은 그 존재를 모른다"

Scientists in many different fields might find the model useful. "The equations apply to any rectangular strip that twists and bends," says John Maddocks, mathematician at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne. "They might be useful for carbon nanotubes, for example, which are made of sheets of carbon."
많은 다른 분야의 과학자들은 이 모형이 유용할 수 있다고 볼 수도 있다. 스위스 연방 공대의 수학자인 존 매덕스는 "이 방정식들은 임의의 꼬인, 그리고 휘어진 직사각형 띠에 응용할 수 있다. 예를들어 탄소로 이루어진 종이를 꼬아서 만든 탄소 나노 튜브를 연구하는데 유용할 수도 있다"

The same approach could also be applied to understanding the shapes of biological molecules, or to explain why a telephone handset cord coils both to the left and to the right, says Maddocks. The work is published in Nature Materials1.
이러한 접근법은 생화학 분자나 전화 수화기의 꼬인 줄이 어째서 왼쪽과 오른쪽으로 꼬인 특성을 유지하는지 설명하는데에도 마찬가지로 사용될 수 있다. 이 작업은 Nature에 소개되었다.
( Starostin, E. L. & van der Heijden, G. H. M., et al. Nature Materials doi:10.1038/nmat1929 (2007).)

Sculpture and conveyor belts

Art and mathematics discovered the Möbius strip independently of one another, and in the same way — by playing with pieces of paper2. Many years after August Möbius presented his discovery to the Academy of Sciences in Paris, the Swiss artist Max Bill thought he had invented a new shape upon creating his 1936 sculpture, Endless Ribbon, designed to look like "flames rising from a fire".
예술과 수학은 뫼비우스 띠의 특징을 여러장의 종이를 이용하여 서로 독립적이지만 같은 방법으로 밝혀냈다.( Emmer, M. Leonardo 13, 108-111 (1980).) 아우구스트 뫼비우스가 파리 과학 학회에서 그의 발견을 발표한 이후 수년간, 스위스 예술가인 막스 빌은 그가 1936년도 작품인, 불에서 불꽃이 일어나는 것 처럼 보이도록 만든 "Endless Ribbon"을 만들 때 새로운 형태를 만들었다고 생각했다.

Since then the Möbius strip has inspired numerous artists, architects, poets and even roller-coaster designers. Conveyor belts are manufactured as Möbius strips, because the entire area of the belt receives the same amount of wear, so it lasts longer. The same goes for recording tapes, as it doubles the playing time.
그 이래, 뫼비우스 띠는 수많은 예술가, 건축가, 시인, 심지어 롤러 코스터 설계사까지도 영감을 자극 시켜왔다. 뫼비우스의 띠 모양의 컨베이어 벨트는 같은 양의 손상을 전체 면적(양면)에 대해서 모두 받기 때문에 더 오래가고, 이런 이유로 뫼비우스 띠 모양의 컨베이어 벨트가 만들어졌다. 마찬가지로 뫼비우스 띠 모양의 녹음기 테이프는 재생 시간을 두배로 만들 수 있다.

Starostin, however, has set his sights beyond Möbius strips. "The same theory can be used to describe non-rectangular shapes — for example, in trying to model the shape of lettuce leaves and also on chemical films. We also hope this will help us understand crumpling," he adds.
하지만 스타로스틴은 그의 시각을 뫼비우스 띠 너머에 둔다. "같은 이론을 이용해서 직사각형 모양이 아닌 형태들을 설명하는 데에도 적용할 수 있다. 예를들면 지폐의 모양에 관한 모형을 만드는 데 쓰이거나, 화학 박막(Chemical films) 등등. 이 이론이 구겨짐(종이 접기? cumpling)을 이해하는데 도움이 줄 것으로 기대한다"

"I want to show you something," says Starostin, leaning forward in his chair. "Look at this." He points to a holly leaf on top of his computer monitor. "One of my targets is to work out the shape of this. Just look how complicated it is!"
스타로스틴은 의자에 몸을 기대며, "나는 당신이 뭔가를 보여주길 원한다. 이걸 봐라" 그는 컴퓨터 모니터의 꼭대기의 서양호랑가시나무 잎사귀를 가리키며 "내 목표중의 하나는 이것의 모양을 밝혀내는 것이다. 그것이 얼마나 복잡한지를!"

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한국 신문들 기사만으로는 이해하기가 너무 힘들어서 원문을 찾아봤다.
이 신비가 대체 왜 신비인지 모르는 분들을 위하여 내가 이해한 것들을 정리해 본다.
(더 자세한 것은 논문을 읽어야겠지만, 이건 나중에 정신과 시간의 방에 들어가면...)

일단, 가전면이란 전개도를 그릴 수 있는 표면이라는 것을 뜻한다. 정육면체, 원기둥 등은 전개도를 그릴 수 있다. 물론 구는 전개도가 없다. 뫼비우스의 띠는 당연히 전개도를 그릴 수 있다. 그냥 네모난 직사각형이 전개도인 것이다.
뫼비우스의 띠를 만드는 건 아주 쉬운 일인데, 일단 만들어 놓고 나면 이게 "대충 둥근" 형태를 이룰 것이다. 그런데 문제는 이것이 어떤 형태를 이룰 것인지, 그걸 예측할 수가 없다는 점이다. 가령 고무줄은 그냥 놔두고 별다른 힘이나 흠집이 없다면 원형을 이룰 것이다. 하지만 뫼비우스의 띠는 일단 3차원 공간에서 어떤 방정식으로 표현하기도 괴롭고 이런저런 문제가 있어서 아직까지 설명을 못해왔던 것이다.
그러다가 스타로스틴이 수학적 방법론을 적용해서 어떤 형태를 이루게 되는지 "수학적 Model"을 만드는데 성공했다는 뜻이다.

여전히 이해하기 힘들다. -_-; 따라서, 논문을 찾아보았다. 유료다. 18달러라고 하니, Abstract만 읽어본다.
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The shape of a Möbius strip

E. L. Starostin & G. H. M. van der Heijden

The Möbius strip, obtained by taking a rectangular strip of plastic or paper, twisting one end through 180°, and then joining the ends, is the canonical example of a one-sided surface. Finding its characteristic developable shape has been an open problem ever since its first formulation in refs 1,2. Here we use the invariant variational bicomplex formalism to derive the first equilibrium equations for a wide developable strip undergoing large deformations, thereby giving the first non-trivial demonstration of the potential of this approach. We then formulate the boundary-value problem for the Möbius strip and solve it numerically. Solutions for increasing width show the formation of creases bounding nearly flat triangular regions, a feature also familiar from fabric draping3 and paper crumpling4, 5. This could give new insight into energy localization phenomena in unstretchable sheets6, which might help to predict points of onset of tearing. It could also aid our understanding of the relationship between geometry and physical properties of nano- and microscopic Möbius strip structures7, 8, 9.

뫼비우스 띠는 직사각형 플라스틱이나 종이를 꼬아 붙여서 만든 것인데, 흔히 한쪽 면만 가지는 표면의 전형적인 예가 된다. 그 특징이 가전면이라는 것을 알아내는 것은 그게 처음으로 제기된 이래로 여지껏 미해결 문제였다. 여기서, invariant variational bicomplex formalism을 통해 큰 변형을 하는 경우에 넓은 가전면 띠에 대한 첫번째 평형 방정식을 유도하고, 이에 따라 이러한 방법이 이러한 접근방법의 가능성 중 자명하지 않은 예를 보였다. 이로부터 뫼비우스 의 경계값 문제를 정식화 하고 수치적으로 풀었다. 폭이 넓어지면서 해는 평평한 삼각형에 가까운 형태가 된다. 이러한 형태는 직물을 꾸미는 것이나 종이접기에서 많이 나타나는 형태이다. 또한 늘어나지 않는 평평한 판의 에너지 국소화 문제, 가령 종이가 어느 부분에서 찢어질 것인가 예측하는 문제 등에도 새로운 시각을 제공할 수 있다. 그리고 이러한 기하학과 물리적 특성 사이의 관계에 대한 이해로부터 나노/마이크로 크기의 뫼비우스 띠의 특성을 이해할 수 있을 것이다.


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대강의 방법론을 소개한 것 같긴 한데, 아무튼. 뫼비우스 띠를 가만히 놔두면 어떤 형태를 이룰 것인가 하는 문제를 푸는데 invariant variational bicomplex formalism을 통해서 풀었다고 한다. 무슨 얘기인지는 모르겠지만, 단어만 본다면 라그랑지의 변분법과 복소해석학의 방법론을 적절히 결합했다는 추측이 든다.

스토리를 상상해 보자면, 탄성체는 구부러진 정도와 늘어난 정도에 따라서 에너지를 저장할 수 있는데, 따라서 에너지라는 숫자는 구부러진 정도를 표현하는 숫자와 늘어난 정도를 표현하는 숫자의 두가지 변수로 이루어져 있다. 이러한 상황에서, 마치 고무줄을 늘리면 다시 줄어들듯이, 탄성체는 가장 에너지를 적게 저장하는 형태로 저절로 변형되게 되는데 이것이 뫼비우스의 띠에서는 아직 풀리지 않았었다는 것이다. 그리고 이걸 풀기 위해서 쓴 방법이 저 위의 "불변 변분 쌍복소 형식론(?)" 이라는 것이다.


그리고 한국 기사. 번역기사를 실을때는 좀 자문이라도 구해 보시기를. 기자들은 물리학과나 수학과에 친구 없나요?[각주:1]

  1. 생각해보니 내 친구중에 기자 되겠다는 사람이 없긴 하다. [본문으로]
by snowall 2007.07.17 14:07
  • djinni 2007.07.17 15:13 ADDR EDIT/DEL REPLY

    번역해서 풀어 쓰신 글을 보니 눈에 확 들어오네요.
    이걸로 뫼비우스 3D 뷰어 같은거 만들면 볼만할 것 같네요.
    물론 직접 만들고픈 욕구는 전혀 없습니다. 머리 아파요 -_-;

    • snowall 2007.07.17 15:34 신고 EDIT/DEL

      미흡한 번역인데요 과찬이십니다.

  • 뜸북이 2007.07.18 01:45 ADDR EDIT/DEL REPLY

    많은 도움이 됩니다. 감사를 드립니다.