자동판매기 최적화 문제

요새는 자동판매기가 일반화 되어 수많은 장소에 설치되고 있습니다. 슈퍼마켓이 문을 닫아도 자동판매기는 항상 작동되고 있으므로 편리하게 음료수를 사 마실 수 있습니다. 그런데, 자동판매기에서 나오는 음료수들의 가격은 같은 음료수라고 해도 장소에 따라 달라지는 경우가 많습니다. 자동판매기의 음료수 가격 결정은 자동판매기 관리인이 마음대로 조절할 수 있기 때문에 원한다면 관리인은 자동판매기 음료수 가격을 무척 비싸게 만들어서 폭리를 얻을 수도 있을 겁니다. 하지만 실제로는 그렇게 되지 않는데, 자동판매기에서 나오는 음료수 가격이 비싸질 수록 소비자들은 차라리 안 마시고 말겠죠. 그렇다면 관리인이 자동판매기의 수익을 극대화 시키기 위해서는 가격을 어떻게 주어야 할까요?

수학적인 자동판매기와 소비자들을 생각해 봅시다. 자동판매기에서 파는 음료수 1캔의 가격이 500원이라고 하고, 하루에 소비자들이 1000개의 캔을 산다고 하면, 하루에 50만원어치를 팔게 됩니다. 여기서, 음료수 가격과 매출 사이의 관계를 우리가 알 수 있는 수학적인 공식으로 바꾸는 것을 "모형 설정"이라고 합니다. 가장 간단한 모형은 "비쌀수록 덜팔리고 쌀수록 더팔린다"는 모형이 되겠죠? 500원을 기준으로 x만큼 비싸지는 것은 500*(1+x)라고 쓰면 됩니다. 그리고 가격이 x만큼 비싸졌을 때 1000개의 캔 판매량을 기준으로 x만큼 판매량이 줄어드는 것은 1000*(1-x)라고 쓰면 됩니다. 전체 매출은 가격과 판매량을 곱하면 되므로 500*(1+x)*1000*(1-x)가 됩니다. 분배법칙을 이용해서 계산하게 되면 50만원*(1-x*x)가 됩니다. 그럼 이제 매출은 언제 최대가 될까요? 간단히 계산해 보면, x=0일때가 됩니다. 간단하군요. 지금 그대로 놔두는 것이 가장 매출이 많은 경우입니다.

하지만 사실 자동판매기에는 한종류의 음료수만 파는 것이 아니기 때문에, 여러가지의 음료수 가격을 따로따로 정할 수 있습니다. 이번엔 좀 더 현실적으로, 두가지 종류의 음료수를 팔 때의 문제를 생각해 보도록 하죠. 만약 두가지 음료수의 가격과 판매량이 서로 영향을 주지 않는다면, 즉 콜라 가격이 올라간다고 사이다 판매량이 변하지 않는다고 하면 이 문제는 한가지 종류의 음료수를 파는 경우와 같아집니다. 하지만 서로 사이에 관련이 있다면 문제는 조금 복잡해 지겠죠. A와 B음료수 모두 원래는 하루에 1000개씩 팔린다고 해 봅시다. A음료수가 원래 500원이고 x만큼 비싸지면 A음료수는 x만큼 덜 팔리지만 B음료수는 x의 절반만큼 더 팔리고, B음료수가 원래 600원이고 y만큼 비싸지면 B음료수는 y만큼 덜 팔리지만 A음료수는 y의 절반만큼 더 팔리는 경우가 있다고 해 봅시다.
이것을 수학적인 공식으로 쓴다면 다음과 같아집니다.
판매 가격 = 500*(1+x)+600*(1+y)
판매량 = 1000*(1-x+0.5*y)+1000*(1+0.5*x-y)
총 매출 = 판매 가격*판매량

*쓰다 말았음. 더 이어지길 원하는 사람이 있으면, 그때 더 써볼 예정임...-_-;