산수를 풀자

작은인장님의 블로그에서 퍼왔다.

구슬 45개를 한 줄로 늘어놓았다.
구슬의 가격은 가운데 있는 것이 가장 싸고
가운데에서 한쪽 끝으로 갈수록 20원씩 비싸지고
가운데에서 다른 한쪽 끝으로 갈수록 15원이 비싸진다고 한다.
구슬 전체의 가격이 10205원일 때 가운데 있는 구슬의 가격을 구하여라.

자. 풀어보자.

풀이1
가운데 있는 구슬의 가격을 x라고 하면, 한쪽 끝으로는 x+20n으로 비싸지고 다른쪽으로는 x+15n으로 비싸진다.
$x+\sum_{n=1}^{n=22}(x+20n)+(x+15n) = 45x+35*22(22+1)/2=45x+35*253=45x+8855=10205$
따라서 45x=1350이므로 x=30이다.

풀이2
x가 45개 있고, 35씩 비싸지는게 22개 있다. 0부터 22까지 35씩 비싸지면 8855니까, 45개의 x는 1350이다. 따라서 x=30

풀이3
가운데서부터 20원씩 비싸진게 23개면 가장 싼게 값이 같을 것이고(가운데 있는 것) 가장 비싼게 440원 비쌀테니 평균적으로  220원 비싼게 23개.
15원씩 비싸진 것도 마찬가지로 165원 비싼 것도 23개.
따라서 가운데 것보다 385원 비싼게 23개 있으므로 8855원이 비싼 거고, 이걸 10205에서 빼면 1350. 이건 비싸지지 않은 45개의 물건값이므로 한개는 30원. 가운데도 30원.
이때, 가운데 있는 걸 두번 센 것 같지만 이것은 실제로 비싸지지 않은 것을 셌으므로 결과에는 영향이 없음.