GPS와 수학

모르는 길을 가다보면, 내가 어디에 있는건지 도저히 모를 때가 많습니다. 요즘은 위성 위치 확인 시스템(Global Positioning System : GPS)이 발달되어 작은 GPS 단말기만 있으면 지구 어디에서나 자신의 위치를 정확하게 확인할 수 있습니다. 이러한 GPS 장치의 실용화에도 수학이 숨어 있다는 사실을 아시나요?

GPS는 우주에 떠 있는 정지 위성 24개중에 4개로부터 신호를 받아서, 그 신호를 분석하여 위치를 확인하게 됩니다. 어떤 원리로 알아내게 되는지 지금부터 하나씩 생각해 보도록 합시다. GPS로부터 받게 되는 신호는 오직 GPS 위성이 갖고 있는 시간 정보입니다. 즉, GPS 위성이 갖고 있는 시계가 몇시를 가리키고 있는지 알게 되죠. GPS위성이 가진 시간과 GPS단말기가 가진 시계 사이의 시간 차이를 알게 되면 GPS 위성으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 다음의 공식으로 알아낼 수가 있습니다.

거리 = 빛의 속력 x 시간 차이

어느 하나의 GPS위성으로부터 같은 거리만큼 떨어진 곳은 지표면 위에 타원 모양으로 표시가 됩니다. 쉽게 생각하려면 지도 위에 타원을 하나 그리면 되겠죠? 이 원 위에 나의 위치가 있는 겁니다. 마찬가지로, 두번째 GPS위성으로부터 받은 신호를 이용하면 타원을 하나 더 그릴 수 있습니다. 그렇게 되면 타원과 타원이 겹치는 점이 2개 나오게 되는데, 두 타원 위에 모두 나의 위치가 있어야 하므로 이 두개의 점 중에 한 곳에 내가 있는 겁니다. 마지막으로 세번째 GPS위성을 이용하면 타원을 하나 더 그릴 수 있게 되는데, 이 타원은 반드시 두 점 중에 한곳을 지나가게 됩니다. 세개의 타원이 모두 겹치는 한개의 점이 바로 나의 위치가 됩니다. 그리고, 마지막으로 네번째 위성을 이용하면 내가 있는 장소의 높이까지도 정확하게 알 수 있게 됩니다.

이런식으로, 여러곳에서 나온 신호를 이용해 특정한 한 점을 결정하는 문제는 수학에서 2차 연립 방정식을 푸는 문제와 같습니다. 이렇게 되는 이유는 거리를 측정하는 공식이 기본적으로 피타고라스의 정리를 이용하기 때문입니다. 피타고라스의 정리는 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 정리인데, 여기서 나타나게 되는 제곱수들이 방정식으로 변하면서 2차 연립 방정식이 만들어집니다.

여기에 소개된 방법은 GPS에서만 사용되는 것이 아니라 여러가지 분야에서 폭넓게 사용됩니다. 지진관측소에서 지진의 근원지를 알아낼 때에도, 지진파의 속력과 지진계에 측정된 시간 간격을 이용하여 여러 곳의 지진 관측소의 결과를 비교하면 지진의 근원지를 알아낼 수 있습니다. 또한, 현재 개발중인 차세대 의료 영상기기인 컴프턴 카메라에서도 같은 방법을 이용하여 인체 내부의 사진을 수술하지 않고 정밀하게 찍어내는 것이 가능합니다.