미적분학에서 자세한 계산은 미적분학 책이나 수학의 정석에 잘 나와 있으므로 여기서는 다루지 않겠다. 이 글에서 다루는 것은 오직 핵심 개념의 이해이다.

미분은 지난 시간까지 대충 해 보았다. 이번에는 급수와 적분에 대한 설명을 해 보겠다.

적분은 어떤 것의 "크기"를 정확하게 계산하기 위해서 사람들이 만들어낸 방법이다. 크기는 무엇일까? 내가 지난번에 크기를 재는 것이 심오하다는 말을 한 적이 있었는데, 바로 그 심오한 방법을 가장 간단하고 짧게 설명하는 것이 이 글의 목적이 될 것이다.

우선, 우리가 알고 있는 숫자의 크기에 대해 생각해 보자. 숫자는 원래 물건의 갯수에서 일반화되어 출발한 것이므로, 물건의 수가 많을수록 숫자가 커지도록 배정되어 있을 것이다. 하지만 우리가 항상 물건만 세면서 살 수는 없는 노릇이므로 뭐라 말하기가 참 곤란하다. 그러므로, 최소한 여러분들이 1보다 2가 크다는 정도의 크기 비교는 할줄 안다고 생각하고서 이 글을 진행시켜 나가야겠다.

크기를 재는데 가장 쉬운 것이 바로 "벡터"이다. 벡터는 두 점을 이어주는 화살표라고 생각하면 된다. 벡터의 길이는 자를 대고 그 크기를 재면 끝난다. 벡터가 (2,3,5,6)등으로 좌표로 나타나 있으면 피타고라스의 정리를 이용해서 각 좌표의 제곱을 더하고, 다시 그 제곱근을 계산하면 크기가 된다. 그런데, 좌표가 무한히 많이 주어져 있다면? 즉, (a,b,c,d,...)해서 끝없이 무한히 많이 간다면 어떻게 될까?

이거 잘 보면, 지난번에 봤었던 수열과 비슷하게 생기지 않았나? 1,2,3,4...번째 좌표에 대해서 각각 숫자가 하나씩 주어져 있다면, 이건 역시 수열이잖아? 만약 이 수열이 발산해버린다면, 수열의 제곱도 발산할 것이고, 그럼 그 합도 발산할 테니까 당연히 이런 벡터의 크기는 무한대가 될 것이다. 이런 무한대가 나와버리면 우리는 이 벡터에 대해서 아무런 말도 할 수가 없다. 그럼, 이건 무한대로 발산하지 않는다고 하자. 즉, 좌표가 무한히 이어지는 벡터를 수열이라고 생각하면, 이 수열이 수렴한다고 해 보자.

여전히 문제는 남아있다. 만약 이 수열이 1로 수렴한다면, 이 수열의 제곱은 어느 항 이후부터는 1의 근처에 있을 것이고, 당연히 이걸 전부 더하면 여전히 무한대다. 그러므로 이런 벡터도 곤란하다. 즉, 좌표의 값들이 수렴할 뿐만 아니라 그걸 전부 더한 것도 수렴해야 한다는 것이다. 안그러면 우린 이 벡터의 크기가 무한대가 나오기 때문에 아무말도 할 수가 없다.

이제, 크기가 유한한 벡터들만 갖고서 생각을 해 보자. 크기가 유한한 벡터이면 이런 벡터는 좌표가 무한히 많이 있어도 그 크기를 잴 수가 있다. 이런식으로 무한히 숫자가 많은 것들을 다 더하는 것을 무한급수(Infinite Series)라고 부른다. 물론 급수의 수렴성을 판단하는 건 많이 어려운 문제가 되겟지만, 그런건 교과서에서 배우도록 하고 여기서는 그냥 넘어가자.

그런데 만약 좌표가 연속적으로 변한다면?

전에 수열에서 함수로 갈 때 불연속적으로 주어진 항 번호를 연속적인 숫자로 바꿔나갔었다. 그럼 이번에도 마찬가지 일을 해야 할 건데, 크기를 재려면 각각의 항을 제곱해서 더해야 하는 것이다. 그런데 이 경우, 항이 무한히 많을 뿐만 아니라, 아무리 작은 구간을 잡아도 무한히 많은 항이 있기 때문에 "확실하게" 발산한다. 어쩌지?

여기서 바로, 연속적으로 이어지는 숫자들을 전부 더하는 것을 하는 방법이 "적분Integral"이다. 기본적인 개념은 각각의 항에 아주 작은 숫자를 곱해서 전체가 발산하지 않고 유한하도록 조정해주는 것이다.

예를들어, 0부터 1까지 어떤 함수 f(x)의 크기를 잰다고 해 보자. 그럼 f(x)는 벡터의 좌표를 말해주는데, 벡터의 크기를 재야 하므로 제곱해서 다 더해야 할 것이다. 제곱은 하겠는데, 무슨수로 다 더할까? 그럼, 일단 구간을 n개로 잘라보자. 그럼 n개의 수열이 나올 것이다. 그걸 다 더하면 되지 않을까? 하지만 이게 정확한지 아무도 보장해주지 않는다. f(x)라는 함수를 0부터 1까지 딱 그려놓고서, 이걸 n조각으로 잘랐어. n개의 조각중에서 k번째 조각 하나만 봐도, 이건 그럼 다시 m조각으로 자를 수도 있잖아? 그럼 대체 어쩌라는건가?

헷갈린다. 그러니까, 규칙을 좀 바꿔보자. 그냥 더하는게 아니라, n개의 조각을 냈으면 0과 1사이에는 n개의 구간이 있을텐데, 각각의 구간의 크기를 더할 값에다 곱해주는 것이다. 예를들어, d(k)가 k번째 구간의 길이를 말해주고, f(k)가 k번째 구간의 함수값이라고 한다면 f(k)*d(k)를 다 더해주면 될 것이다.

잠깐! k번째 구간에서 함수값이 일정한것도 아닌데 그렇게 막 넘어가도 돼?

그렇다. 그냥 넘어갈 뻔 했다. 뭐, 좋다. 그럼 이렇게 해보자. k번째 구간에서 가장 큰 값이 있고 가장 작은 값이 있을것이다. 두가지 경우를 생각하는데, f(k)를 항상 가장 큰 값으로 정하는 것과 항상 가장 작은 값으로 정하는 경우일 것이다. 나머지, 다른 함수값인 경우들은 항상 그 사이에 있을 것이므로 걱정하지 말도록 하자.

가장 큰 값으로 정하는 경우와 가장 작은 값으로 정하게 되면, 함수가 일정하지 않으므로 아마 가장 큰 값과 가장 큰 값 사이의 차이에 구간의 길이를 곱한만큼의 차이가 나게 될 것이다. 하지만 우리는 지금 구간을 맘대로 잡을 수 있을 것이다. n조각을 낸 것을 다시 각각 m조각을 더 낸다면? 구간은 더 짧아질 것이고, 각 구간은 더 짧아졌으므로 그 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값 사이의 거리는 아마 짧아졌을 것이다. 이런식으로 구간을 무한히 많이 잘라 나가면 가장 큰 값으로 정해서 덧셈을 계산한 것과 가장 작은 값으로 정해서 덧셈을 계산한 것 사이의 차이가 없게 될 것이다.

다시 잠깐! 정말??

이건 사실 모르는 거다. 그렇기 때문에, 이런 경우 수학자들은 다시 정의를 한다. 구간을 임의로 나눠서, 위에서 설명한 방법중에 각 구간에서 가장 큰 값을 이용해서 덧셈을 계산한 것과 가장 작은 값을 이용해서 계산한 것 사이의 차이가 0으로 수렴하면, 우리는 이러한 함수를 "적분 가능"하다고 하고, 그 계산값을 "함수 f(x)의 적분"이라고 부른다.

중간에 뭔가 어물쩡 넘어간 부분이 많긴 하지만, 아무튼 적분은 이렇게 탄생했다.

좀 더 자세히 말하자면, 지금 얘기한 적분은 리만Riemann 적분이다.

적분이론은 적분이 안되는 것들의 크기를 재기 위해서 발전해 왔는데 리만-스틸체스(Riemann-Stieltjes) 적분론, 르벡Lebesgue적분론 등을 수학과에 오면 배울 수 있다.

그중에서 구간을 임의로 자르지 않고 단순히 n개의 조각으로 똑같이 나누는 것은 고등학교 수학에서 배우게 된다.

미적분에서 가장 중요한 정리인 "미적분학의 기본 정리"만 소개하고 글을 마치도록 하겠다.

정리 : 어떤 함수가 적분 가능하면, 그 함수를 적분한 것을 다시 미분하면 원래의 함수와 같다. 반대로, 어떤 함수가 미분 가능하면 그 함수를 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 함수와 상수 차이를 제외하면 같다.

증명은 생략.

어떤 대상을 관찰하는 방법은 멀리서 보는 것과 가까이서 보는 것, 그리고 그 중간의 어딘가에서 보는 방법이 있다.

수학적인 대상을 관찰할 때에도 마찬가지 방법이 적용되는데, 그중에서 아주 가까이 다가가서 보는 것이 미적분학이 된다. 그리고 그 논리의 핵심에는 "수렴성"이라는 아주 중요한 특성이 생긴다.

수열은 아주 기본적인 건데, 수열이 가진 특성은 "움직인다"는 것이다. 몇번째 항 까지 추적해 나가다 보면 수열이 이리저리 움직이고 있다는 것이 느껴질 것이다. 그런데, 수렴하는 수열을 추적하다보면 대충 몇번째 항 이후부터는 추적할 필요가 없다. 왜냐고? 어디에 있는지 뻔히 다 알기 때문이다. 수렴성이 중요한 이유는 무한히 많은 수열의 항들을 전부 조사할 필요 없이, "적어도 여기 근처에 있다"고 말할 수 있는 근거를 제시해 주기 때문이다.

그럼 이제 이걸 어떻게 써먹을까? 수열을 한단계 확장한 것이 함수이다. 수열은 자연수n을 하나 말하면 n번째 항에 대한 숫자가 하나 있는 것이었다. 함수는 실수x를 하나 말하면 그것에 해당하는 숫자가 하나 있는 것을 말한다. 문제는, 자연수는 띄엄띄엄 떨어져 있기 때문에 적당히 구간을 작게 잡으면 그 안에 자연수가 단 1개만 있도록 할 수 있지만 실수는 그게 불가능하다는 점이다. 아무리 작은 구간을 잡더라도 실수는 무한히 많이 들어있다. 이런 문제점을 해결하기 위해서 수학자들이 생각해낸 방법은 "에라, 모르겠다!" 라는 거다. 우리가 실수에 대해서는 띄엄띄엄 떨어져 있다는 걸 생각할 수 없지만, 그렇다면 그중에 아무거나 적당히 고르자는 거다. 무한히 많은 실수 중에서 적당히 띄엄띄엄 떨어져 있도록 골라서 수열에서 했던 것처럼 얘기를 하면 되잖아? 사실 우리가 아는게 그거밖에 없으니까 그정도라도 할 수 있다면 다행일 것이다.

그런데, 그게 정말 맞는지 어떻게 알까?

가령, 어떤 함수를 분석하는데, 내가 잡은 수열이랑 너가 잡은 수열이 다를 수도 있을 거고, 여러번 수열을 다르게 잡을 수도 있을 것이다. 그럼 그때마다 결과가 다를텐데, 뭐가 맞는거지?

이 문제를 해결하기 위해서 수학자들은 다시 "아무거나 골라도 상관 없다"는 정리를 증명하게 된다.

예를들어, 이런 것이다.

f(x)를 실수에 대해 잘 정의된 함수라고 하자. 즉, 실수 x를 아무거나 고르더라도 그에 해당하는 숫자 f(x)를 말해줄 수 있다는 뜻이다. 우리는 실수 x를 아무거나 고를 수 있기 때문에 적당한 수열 {X}를 만들 수 있다. 이제 질문은 다음과 같다. {X}가 a로 수렴한다고 하면, f(x)는 f(a)로 수렴할까?

좀 더 쉽게 말을 바꾸면 {X}는 x를 무한히 많이 골라내서 적당히 만든 수열이다. 그런데 이 수열은 n번째 항 이후로는 x의 근처에 전부 다 몰려 있다. {X}에 있는 항을 하나씩 대입하면 f(x)에 해당하는 숫자들도 수열이 될 것이다. 과연 n번째 항 이후로는 f(x)들이 모두 f(a)의 근처에 전부 몰려 있을까?

답은 "글쎄요"

함수는 무진장 많이 있고, 위에서 말한 성질이 성립하는 것도 있고 성립하지 않는 것도 있다. 그럼 이제 어떻게 할까?

이런 경우 수학자들이 흔히 쓰는 방법은 "정의"이다.

x가 a로 접근할 때 f(x)가 f(a)로 접근하는, 그런 종류의 함수를 "연속함수"라고 정의한다.

이것이 바로 연속성의 정의가 된다.

물론, 그림으로 그렸을 때 매끈하게 이어져 있는 함수들은 모두 연속함수이다. 연속함수의 종류는 무한히 많이 있다. 다만, 연속이 아닌 함수들(불연속 함수)이 훨씬 더 많이 있을 뿐이다. 당연히 연속함수가 얘기하기가 더 쉽기 때문에 우린 항상 연속함수만 갖고 얘기를 진행할 것이다. 고등학교를 졸업할 때 까지 만나는 함수중에서는 1/x을 제외하고는 대부분이 연속함수일 것이다.

사칙연산에 대해서 말을 하자면, 가장 기본적으로 덧셈을 잘 정의해야 합니다.

사칙연산은 모두 이항연산(Binery Operation)이라고 부르는 계산법에 들어가는데, 이항연산은 집합에서 원소 두개를 골라서 그 집합의 원소 하나를 대응시키는 규칙을 말합니다.

+(a,b)=c

라는 형식으로 덧셈을 정의하게 되는데, 이것을 간단하게 쓰기 위해서 a+b=c라고 적습니다.
"덧셈이 어떤 집합 A에서 잘 정의되었다"는 말은 집합 A에서 아무 원소 두개를 골라서 덧셈을 했을 때 항상 다시 A로 그 결과가 들어가는 경우에 사용합니다.

만약 어떤 원소  e가 있어서 집합의 아무 원소 a에 대해서 +(a,e)=+(e,a)=a를 만족한다면 e를 항등원(Identity)이라고 부릅니다. 특별히, 덧셈에 관한 항등원의 이름을 "영,0,zero"이라고 부릅니다.
줄여서 적으면 a+e=e+a=a인 e를 0이라고 부릅니다.

또한, 특정 a에 대해 어떤 원소 n이 있어서 +(a,n)=+(n+a)=e가 나오는 경우가 있는데, 이런 경우 n을 a의 덧셈에 관한 역원이라고 부르고, -a라고 적습니다.

곱셈도 똑같은 방법으로 정의하는데,
x(a,b)=c라고 정의합니다. 그리고 곱셈에 관한 항등원을 1이라고 부릅니다. a에 대한 곱셈의 역원은 1/a라고 적습니다.
아무튼, 이항연산 하나가 잘 정해져 있고, 결합법칙이 성립하면서, 항등원과 모든 원소에 역원이 존재하면 그런 집합을 군Group이라고 부릅니다.
여기서 중요한건 교환법칙이 성립할 필요는 없다는 겁니다. 교환법칙도 성립하는 군은 가환군, 또는 아벨 군이라고 부릅니다.
교환법칙은 a+b=b+a가 모든 a, b에 대해서 성립할 때 교환법칙이 성립한다고 말합니다.

우리가 잘 알고 있는 "숫자"라고 부르는 것들은 모두 교환법칙이 잘 성립하는 가환군을 이루고 있고, 덧셈과 곱셈 역시 우리가 알고 있는 그대로 잘 정의됩니다. 물론 숫자 0과 숫자 1은 각각 덧셈과 곱셈에 대한 항등원입니다.
하지만 숫자가 아닌 여러가지 대상들도 군을 이룰 수 있는데, 숫자 말고도 이런 것들이 많이 있다는 점을 알아두면 됩니다. 그리고 그런 대상중에서는 교환법칙이 성립하지 않는 것이 훨씬 더 많이 있습니다.
결합법칙은 이항연산을 처리하는 순서를 바꿀 수 있다는 법칙인데, 굳이 쓰자면 다음과 같습니다

+(a,+(b,c))=+(+a,b),c) 이고, 이것을 간단하게 쓰면 a+(b+c)=(a+b)+c라고 씁니다.

물론 우리가 아는 대부분의 이항연산들과 대부분의 집합은 결합법칙을 잘 만족합니다.

분배법칙은 이항연산이 두개 이상 정의된 경우에 이항연산의 순서를 바꿀 수 있다는 법칙입니다. 하지만 보통의 군은 이항연산이 1개만 정의되어도 되기 때문에 이항연산이 두개가 잘 정의된 집합을 생각해야 합니다. 그래서 덧셈과 곱셈을 한꺼번에 생각하는 경우가 있는데, 이러한 집합을 환Ring이라고 부릅니다.
정확히는, 어떤 집합이 환이 되기 위해서는 덧셈에 대해서는 가환군이고 곱셈이 잘 정의되어야 하고, 분배법칙이 잘 성립해야만 합니다. 한가지 특징은, 곱셈에 대해서 역원이 존재할 픽요가 없고 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않더라도 상관 없습니다.

분배법칙은 덧셈+과 곱셈*에 대해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다

*(a,+(b,c))=+(*(a,b),*(a,c))이고 간단하게 쓰면 a*(b+c)=(a*b)+(a*c)라고 씁니다.

만약 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하고 덧셈의 항등원을 제외한 모든 원소에 대해서 곱셈에 대한 역원이 존재한다면 이런 집합을 체FIeld라고 부릅니다.

유리수, 실수, 복소수 등은 모두 체를 이루고 있습니다.

사칙연산중에서 두가지를 정의했는데, 뺄셈은 어떤 수의 덧셈에 관한 역원을 더하는 것으로 생각할 수 있고, 나눗셈은 어떤 수의 곱셈에 관한 역원을 곱하는 것으로 생각할 수 있기 때문에 잘 정의됩니다. 단, 덧셈에 대한 항등원은 곱셈에 관한 역원이 없기 때문에 0으로 나누는 일은 하지 않습니다.

이러한 성질들을 이용하면 숫자들이 갖고 있는 여러가지 특성을 잘 이해할 수 있게 됩니다.