내가 고2때 다니던 단과 학원에서 강의를 잘하기로 유명한 수학 선생님이 있었다.
그 선생님은 항상 수학 문제를 빨리 푸는 방법을 가르쳐 주었다.

"수학 문제를 빨리 풀려면 어떻게 하면 되는지 알아요?"
라고 하면서
수학 문제를 칠판에 적고

막...

풀었다. 빠르게.

"수학 문제는 이렇게 빨리 풀면 빨리 풀려요"

다들 좌절한다.

왜?

뭔가 특별한 비법이 있을 거라고 기대했거든.

하지만 그게 사실이다. 옛날에 누군가 그랬다. 수학에는 왕도가 없다고. 아마 유클리드가 한 말일것이다. 아 물론, 수학에는 왕도가 없지만 정석은 있다.

내 개그를 이해해 주기 바란다.

아무튼, 수학 문제를 빠르게 푸는 방법은 별로 없다. 오직 끊임없는 연습만이 있을 뿐이다. 내가 대학교에서 수학을 전공하면서 느낀 건 "논리적으로 생각하는 것"에 익숙해지는 것이다.

고등학교 때 까지의 수학은 사실 증명이 거의 없이 단순한 산수에 가깝다. 왜 그렇게 되는지 이유를 따질 필요가 없이 그냥 풀면 된다. 당연히 응용문제가 나오면 고민만 하다가 답을 찍고 다음 문제로 넘어가게 된다. 왜 그럴까? 연습의 대상이 틀렸기 때문이다. 수학에서 연습해야 하는건 문제를 푸는 것이 아니다. "모든 가능성을 따져서, 단 하나의 거짓도 없음이 분명한지" 생각하는 것이다.

재미있는건, 학원이나 학교 수학 선생님들이 "비법"이라고 말하면서 수학 문제를 풀 때, "보기"를 하나씩 문제에 대입해보면 정답이 나온다는 걸 가르쳐준다. 그건 비법이 아니다. 수학에서 중요한건 "그게 정답인게 확실해?"이지 "그거 너무 치사하지 않냐?"가 아니다.
정답이라는게 확실하기만 하면 문제를 풀기 위해서 접근하는 방법은 아무래도 좋다. 아니, 세상에 어떤 바보같은 수학자가 "5개중에 하나가 정답이 확실해요"라고 말했는데 무한히 많은 가능성 중에서 답을 찾겠는가. 물론 문제 자체가 틀렸을 가능성을 의심해 보긴 한다.

페르마의 마지막 정리를 해결한 엔드루 와일즈는 사실 페르마의 마지막 정리를 직접 증명하지 않았다. 타니야마-시무라 추측이 페르마의 마지막 정리와 동치라는 걸 알고서, 타니야마-시무라 추측을 증명한 것이다. 누가 비겁하다고 하겠는가?

수학은 그런 학문이다. 남김없이 따져서 맞기만 하면 된다. 나머지는 니 맘대로다.

재미있지 않은가? 가장 딱딱해 보이는 학문이 사실 가장 자유롭다니.

어느 쌍둥이 형제가 생일날이 되어 케이크에 촛불을 껐습니다. 두 형제는 너무나 똑같았기 때문에 서로 케이크를 양보할 생각이 없으며, 두 사람에게 공평하게 케이크가 나누어져야 서로 싸우지 않고 케이크를 먹게 됩니다. 어떻게 하면 가장 공평하게 케이크를 나눌 수 있을까요?

이 문제는 현대 경제학 이론에서 가장 중요한 이론중의 하나인 "게임 이론"의 가장 간단한 예입니다. 게임 이론은 어떤 전략이 최대의 이익을 가져다 줄 것인지 결정하는 방법을 이야기해 줍니다. 게임 이론이 말하고 있는 "게임"은 단순히 우리가 즐기는 오락을 말하는 것이 아닙니다. 게임 이론이 말하는 게임은 참가자가 상대방의 전략을 모른 채 자신의 전략을 선택해야 하고, 승부가 확실하게 결정되는 규칙이 있는 경기를 뜻합니다.

실제로, 게임 이론은 생명체의 생존경쟁에서 협동이 나타나는 이유를 설명해 줄 수 있습니다. 예를들어 둘 다 협동하면 둘 다 먹이를 구할 수 있고, 둘 다 배신하면 둘 다 굶으며, 어느 한쪽이 배신을 하면 한쪽이 먹이를 독차지하는 상황이 되었다고 생각해 봅시다. 이런 경우 최선의 전략은 둘 다 협동하는 겁니다. 하지만 이렇게 생각하는 것은 우리가 관찰자로서 상황을 객관적으로 바라보기 때문에 가능한 일이지 실제로는 그렇지 않습니다.

내가 협동하는 전략을 선택했는데 상대방이 배신을 한다면 나는 열심히 먹이를 구하기 위해 노력했지만 얻은 것이 없으므로 큰 손해를 입게 됩니다. 하지만 상대방이 협동하고 내가 배신하면 난 이익을 얻게 됩니다. 그러므로 난 배신을 하는 쪽이 더 유리하겠죠. 마찬가지 생각으로 상대편도 배신합니다. 그러므로 결과는 둘 다 배신하는 쪽이 나오게 됩니다.

만약 이런 게임을 여러번 반복한다고 생각해 봅시다. 이런 경우에 최선의 전략은 어떤 것일까요? 게임 이론을 연구하는 학자들에 의하면 "받은만큼 돌려주기" 전략이 가장 유리하다고 합니다. 이 전략은 간단히 말하자면 상대방이 바로 전에 선택한 전략을 똑같이 선택하는 전략입니다. 만일 모두가 이 전략을 선택하고 첫번째 선택을 협동하기로 한다면 끝까지 협동을 할 겁니다. 또한 받은만큼 돌려주기 전략은 무작위로 선택하는 전략, 무조건 협동하는 전략 등에 대해서도 더 유리한 전략이라고 합니다. 그리고 이러한 전략은 실제 동물들의 행동에서 나타납니다. 여러 동물들의 협동은 이러한 이론적 기초를 바탕으로 설명할 수 있습니다.

이제, 위의 케이크 문제의 답을 이야기해 보도록 하겠습니다. 가장 공평하기 위해서는 양쪽 모두 공평하다는 점에 동의해야 합니다. 형이 케이크를 반으로 나누고 동생이 그중에 자신이 원하는 것을 고른다고 해 봅시다. 형은 동생이 자신에게 양보하지 않을 것이라는 점을 알기 때문에, 만약 어느 한쪽을 더 크게 자른다면 자신에게는 작은 조각이 돌아오리라는 사실을 알 수 있습니다. 그러므로 가능한 똑같게 자르겠죠. 동생 역시 자신이 좀 더 커보이는 조각을 고를 것이므로 불공평하다고 따질 이유가 없습니다. 그러므로 쌍둥이 모두 만족하는 답이 됩니다.

형제가 3명이 넘어간다면 어떻게 하면 될까요?

이 경우에는 어느 한명이 칼을 잡고 조각이 차츰 커지는 쪽으로 칼을 끝에서부터 이동합니다. 그러다가 누군가 "그만!"이라고 외치면 그 자리에서 케이크를 자르고 외친 사람에게 방금 자른 케이크 조각을 줍니다. 만일 더 커다란 조각을 먹기 위해 더 기다리다가 어느 순간 다른 사람이 외쳐버리게 되면 자신이 확보한 조각은 사라지게 됩니다. 그렇게 되는 걸 막으려면 다른 사람보다 먼저 외쳐야 하는데, 그럼 작은 조각을 먹을 수 밖에 없습니다. 결국 자신이 외쳤을 때 먹게 되는 것이므로 불평할 수가 없습니다. 다른 사람들 역시 더 커다란 조각을 얻기 위해서 기다리고 있다가 누군가가 외쳐서 조각을 빼앗긴 것이므로 불평할 수가 없습니다. 그리고 2명이 남게 되면 앞서 설명한 방법으로 나누면 됩니다.

여러분들은 어떤 일을 할 때 협동하는 편인가요? 아니면 배신하는 편인가요? 어느 쪽이 더 나은 선택이라고 강요할 수는 없지만, 대체적으로 협동하는 쪽이 서로에게 더 이익을 주게 됩니다.

cranky의 Holy winter라는 곡을 소개해 보려 한다. cranky는 일본인 뮤지션인데, 사실 누군지는 잘 모르고 BM98시절부터 그의 노래가 좋아서 찾아서 듣다가, 어느새 홈페이지까지 찾아가 듣게 된 사람이다.

cranky의 홈페이지 주소는 다음과 같다 : http://www.rave-slave.com

뭐...사실 개인적으로 대단히 좋아하는 곡이므로 별다른 평은 없다. 각자 듣고 각자 평가해 주기 바란다.

주의 - 이 결과는 검산이 필요할 수 있음! (snowall은 언젠가 해보겠음.)

사람들은 항상 나에게 뱃살을 좀 빼라고 얘기한다. 권유 수준이 아니라 이젠 거의 강요에 가깝다. 이런 나는 투철한 직업정신을 발휘하여 다이어트 방법을 물리학적으로 분석해 보려고 한다. 물론 이 분석은 인체의 지방 흡수 효율이나 에너지 효율 등을 철저히 무시하고 그냥 아무 생각없이 한 것이므로 실제와는 좀 다를 수 있다.

1. 칼로리 소비에 관하여
칼로리는 열량의 영어로 된 단어이다. 열량은 에너지와 같은 뜻이다. 다만, 숫자가 좀 다른데, 1칼로리(1cal)은 4.1868주울(J)이라고 한다. (정확한 숫자다)
이제, 음식물의 열량으로 들어가는 kcal은 그 숫자에 기본적으로 1000이 곱해진 cal을 이야기해주고 있으므로, 1kcal=4186.8J이라는 공식을 적용하면 되겠다. 따라서 기본적으로 하루에 사람이 살아가기 위해서 기본적으로 필요한 열량이라는 기초 대사량 1400kcal은 5861520J에 해당한다. 다들 잘 알다시피 1J의 에너지는 1N의 힘으로 1kg의 물체를 1미터 움직이는데 필요한 에너지이다. 즉, 벌써 살아있는 것만으로 600만 주울의 엄청난 에너지를 사용한다는 사실에 주목하기 바란다.
아무튼, 남자 성인의 일일 권장 섭취량은 2400kcal이므로 위의 5861520J에 1000kcal을 더해보자. 그럼 당연히 10048320J이 된다. 좋다. 사람의 일률은 얼마일까? 하루는 86400초이므로 1초당 116.3주울의 에너지를 사용한다. 즉, 116.3W의 일률이다. 대략 이 숫자는 1/7마력에 해당한다.

2. 에너지 보존법칙
우리 몸도 당연히 에너지 보존법칙의 지배를 받는다. 다시말해서, 먹은 에너지 = 사용한 에너지 + 저장된 에너지가 된다. 자, 우리가 저장된 에너지를 최대한 줄이려면 사용한 에너지를 늘려야 한다. 그럼, 먹은 것의 어느 정도가 살로 가는 걸까? 자, 질문을 바꾸자. 먹은 것을 다 사용하려면 얼마나 움직여야 할까? 이 질문에는 약간의 생물학적 지식이 필요한데, 단백질과 지방과 탄수화물의 열량이다. 인터넷을 뒤져본 결과 지방이 9kcal/g이고 탄수화물이 4kcal/g이다. 일단 이 숫자를 주울로 바꾸면 각각 37000주울과 18000주울이 된다. 계산의 편의를 위해 그냥 40000주울과 20000주울이라고 하자. 즉, 지방을 1g사용하려면 40000주울의 일을 해주면 되는 거다. 40000주울의 일은 얼마나 될까? 성인 한 사람의 몸무게를 60kg이라고 하면, 이 사람에게 작용하는 중력은 약 600N이 된다. 즉, 이 사람은 계단으로 1미터를 올라가면 600J의 일을 한다. 그럼 100미터를 올라가면 60000J이 된다. 1g을 쓰려면 100미터의 2/3에 해당하는 66미터 정도를 올라가야 한다. 아파트 한 층의 높이가 대략 2.4미터라고 하니까, 27.5층의 높이에 해당한다. 대박이다 -_-; 1g을 빼자고 27층을 올라가야 한다니...

탄수화물은 다행스럽게도 그 절반만 올라가면 된다.

왜 살이 금방 안빠지는지 알겠는가? 당신이 비만이라고 하자. 예를들어 100kg이고, 비만이면 체지방률이 15%를 넘는 사람을 이야기하므로, 대략 20%라고 해 보자. 그럼 20kg이 지방이다. 즉, 20000g의 지방이 있다. 이걸 다 빼려면? 100kg이 받는 중력은 1000N이고, 20000g의 지방은 753624000주울의 일이므로 간단히 계산하면 753624미터를 올라가면 된다. 에베레스트 산의 85배정도 되는 높이이다. -_-; 좌절하지 마라. 아파트 한 층이 2.4미터니까 314010층을 올라가면 된다.
음...아파트 한 동이 20층이라면 15700번 올라가면 되고, 1년에 20kg을 전부 빼려면 하루에 43번만 올라가면 된다. 미안하다. 괜히 말한것 같다.

3. 아파트 올라가기와 내려가기
아파트 올라가기와 내려가기, 어느게 더 일을 많이 할까? 물론 물리학적으로는 같은 일을 한다. 왜 그럴까?
에너지는 항상 보존된다. 올라가면서 일을 했으면, 내려가면서 일을 받아야 한다. 이것이 자연의 법칙이다. 하지만, 20층까지 올라간 에너지를 단숨에 받는 경우를 우리는 "추락사" 또는 "실족사"라고 부르기 때문에 그런 경우를 우리는 피해야만 한다. 그러므로, 천천히 걸어 내려오도록 하자. 천천히 걸어 내려오면서 위치 에너지가 운동 에너지로 변하지만 이 운동에너지를 멈추어 서려면 힘을 주어서 운동 에너지를 다른 에너지로 바꿔야 하기 때문에 결국 에너지를 소비해야 한다. 그러므로 올라가는 것과 내려오는 것은 같다.
따라서, 아까 하루에 43번 올라가는 일은 21번 올라갔다 내려오고 마지막에 걸어올라갔다가 엘리베이터 타고 내려오면 된다. 좀 쉬워졌나?

4. 달리기 - 도로에서 / 런닝머신에서
도로에서 뛰는 것과 런닝머신에서 뛰는 것 사이에는 물리학적으로 어떤 차이가 있을까? 일단 우리가 뛸 때 에너지를 주로 소모하는 부분은 "위아래로" 움직이는 부분이다. 앞으로 가기 위해서 일단 몸을 위로 띄워야 하기 때문에 에너지를 쓰고, 떨어질 때 속도를 줄이게 되므로 역시 에너지를 쓰게 된다. 하지만 도로에서 뛰면 앞으로도 가잖아? 런닝머신은 제자리에서 뛰는거고. 이 부분에 대한 차이는 어떨까?
100kg인 사람이 약 시속 10km로 뛴다고 해 보자. 이 속도는 물론 런닝머신에서 체험할 수 있다. 실제 도로에서 이 속력으로 뛴다면, 운동에너지는 어떻게 될까? 간단한 계산을 하면 385주울이라는 것을 알 수 있다. 즉, 실제 도로에서 달릴 때 한번 가속시키려면 385주울만큼 일을 더 해줘야 한다. 물론 멈출때도 이만큼의 일을 해야 하므로 한번 달리다가 멈추게 되면 770주울의 일을 하는 셈이다. 이는 지방 0.2g정도에 해당한다. 한번 쉴때나 방향을 정 반대로 바꿀 때마다 이만큼의 일을 하는 셈이므로...뭐...조금 더 빼고 싶다면 도로에서 뛰자. -_-;;

5. 결론
지금까지 물리학적으로 다이어트를 위한 운동 방법들을 고찰해 보았다. 별 의미 없어보인다.
살을 빼고싶으면 일단 운동을 하자. 내가 이 글 쓸동안 뛰어다녔으면 살이 좀 빠졌겠지만...   

하루종일 뉴트리노만 공부했다. 15시간동안 10페이지밖에 못 읽었다. 완전 좌절 -_-;

아무튼, 오늘 공부한 내용을 쉽게 정리해 볼 겸 해서 몇자 더 적어본다. 왜 이게 "쉬운 물리학"에 들어와 있는지는 질문하지 마시라. 나름 쉽다.
자. 레몬맛, 녹차맛, 복숭아맛이 있었다. 재료의 함량 비율에 따라서 맛이 달라지고, 각 재료가 변질되는 속도가 서로 다르기 때문에 맛이 서로 달라진다는 뭐 그런 얘기를 대강 했었다.

이번에 할 얘기는, 배달 도중에 다른 맛을 추가하는 경우에 관한 이야기이다. 좀 더 전문적으로 얘기하면, 뉴트리노가 만들어져서 멀리 갈 때 전자의 밀도가 높은 곳을 지나가면 어떻게 될까 라는 얘기다.

일단 어렵게 생각해 보자.

전하를 가진 렙톤은 전자, 뮤온, 타우 입자가 있고, 전하를 갖지 않는 중성 렙톤은 전자 뉴트리노, 뮤온 뉴트리노, 타우 뉴트리노가 있다. 전하를 가진 렙톤과 중성 렙톤 사이에는 전자기력이 작용하지 않는다. 전자기력은 전하를 가진 입자들이 서로 작용하는 힘이지 중성 입자하고는 작용하지 않는다. 하지만 얘들이 이름에 공통된 부분을 갖고 있는건 우연이 아니다. 물리학자들이 괜히 이름에 공통된 부분을 넣지는 않는다. 바로, 이들 사이에는 약한 상호작용이 작용한다.

약한 상호작용은 말 그대로 약한 상호작용인데, 하는 일은 전하를 가진 렙톤과 중성 렙톤을 서로 바꿔준다. 이때, 같은 이름을 가진 것 들 끼리만 바꿀 수 있다. 즉, 전자는 전자 뉴트리노하고만 바뀌고 뮤온은 뮤온 뉴트리노하고만 바뀐다. 타우도 마찬가지다.
뭐, 아무튼 그렇다 치고, 뭐가 문제냐 하면, 지난번엔 뉴트리노가 만들어져서 질량 고유 상태로 빈 공간을 전파하고 이래저래 바뀌어서 막상 검출될 때는 만들어질 때와 다른 뉴트리노가 검출된다는 얘기를 했었다. 이번엔 이 뉴트리노가 빈 공간이 아니라 주변에 전자들이 아주 많은 곳을 지나치는 경우이다.

전자들이 아주 많은 곳은 우주에 여기저기에 있는데, 가령 태양같은 경우 핵 융합이 일어날 정도로 고밀도로 압축된 곳이기 때문에 전자 역시 아주 많이 있다. 그럼 전자 뉴트리노는 이런 전자들이 많이 있는 곳을 그냥 지나치지 못하고 계속 약한 상호작용으로 부딪치면서 지나가게 된다. 그럼 어떻게 되냐고? 여기서 한번 부딪친다는 것은 "검출된다" 또는 "방출한다"는 작용이 일어나는 것과 같은 뜻이다. 그럼 이런 일이 일어날 때마다 전자 뉴트리노가 전자로만 갈까? 그렇진 않을 것이다. 전자 뉴트리노가 뮤온 뉴트리노로 검출될 수도 있고 타우 뉴트리노로 검출 수도 있다. (지난번에 계속 했던 얘기가 이 얘기다) 검출된 뉴트리노는 대전된 렙톤으로 바뀐다. 즉, 뮤온 뉴트리노로 바뀐게 검출되었다면 뮤온 뉴트리노는 뮤온으로 바뀌어야 한다. 그럼 뮤온으로 갔다가 다시 뉴트리노로 갈 때는? 이땐 또 뮤온 뉴트리노로 갈 것이다.

즉, 요약하자면, 처음엔 전자 뉴트리노만 많이 만들어졌는데 이게 수많은 전자들이랑 부딪치면서 뮤온 뉴트리노랑 타우 뉴트리노가 새로이 따로 만들어질 가능성이 커진다는 것이다.

그럼 이걸 지난번의 아이스티 얘기랑 섞어서 쉽게 이해할 수 없을까?

이번 얘기에서는, 아이스티 공장에서 슈퍼마켓까지 가는 길목에 중간 도매상을 한번 거쳐간다고 해 보자.

녹차맛, 복숭아맛, 레몬맛 아이스티가 있었다. 처음에 공장에서 출발할 때는 녹차맛 아이스티만 가득 담겨있었다고 하자. 녹차맛 아이스티를 가득 실은 트럭이 중간 도매상에 들러서 전국 각지의 슈퍼마켓으로 납품하는 것이다. 문제는, 녹차맛 아이스티가 벌써 맛이 변했다는 것이다. 출발할 때 100상자를 갖고 출발했는데, 중간 도매상까지 오는 사이에 그새 10상자가 레몬맛으로 변해 버렸다. 남은 녹차맛은 90상자가 되는 것이다. 이제 이 녹차맛 90상자만 갖고서 각 슈퍼마켓으로 보내야 한다.

슈퍼마켓에서 녹차맛 50상자가 필요하다면, 맛이 변할 것을 고려해서 100상자를 미리 주문한다. 그럼 트럭이 도착할 즈음에는 50상자는 다른 맛으로 변하고 50상자는 여전히 녹차맛으로 남아있을 것이다. 물론 뭐가 어떤 맛인지는 직접 맛을 봐야 알겠지만, 이건 그냥 해결 가능한 문제라고 해 두자. 아무튼, 그런데 도매상에서 잠깐 들러서 각 슈퍼마켓으로 나눠줄 때 벌써 10%가 변질되어 있었다. 즉, 100상자를 실어오더라도 그중에 10상자는 이미 녹차맛이 아니었으므로 50%의 변질률을 보인다면 슈퍼마켓 주인은 녹차맛 50상자를 기대했는데 정작 녹차맛은 45상자밖에 없는 것이다. 이걸 보고서 슈퍼마켓 주인은 "공장에서 나한테 사기친거야?"라고 의문을 가질 것이다.

자. 중간에 한 단계를 거쳐오면서 아이스티가 변하는 속도가 "더 빠른" 것으로 오해되었다. 이런식으로 오해되어서, 사실 뉴트리노가 처음 만들어질 때는 서로서로 조금씩만 섞여 있는 것으로 생각되지만 전자의 밀도가 아주 높은 곳을 지나쳐 오면서 "더 많이" 섞인 것으로 오해되는 것이다.

무슨 얘긴지 참 난감하리라 믿는다. 하지만, 생각해 봐라. 멀쩡히 잘 걸어가던 사람이 갑자기 다른 모습으로 변하면 얼마나 난감할지. 물리학자들이 이 현상을 처음 발견했을 때에도 마찬가지였다. 뉴트리노가 질량이 있다는 얘기도 난감하고, 서로 섞인 것이 크게 섞여있으면서 동시에 작게 섞여 있다는 모순되는 관측 결과도 난감하고 이래저래 난감하다.
물리학은 이런 문제들을 하나씩 극복해 나가면서 조금씩 발전해 나가고 있다.