구형 도체의 저항구하기

학부 전자기학 연습문제로 자주 나오고 또한 물리학과 2학년 중간고사/기말고사 시험문제로도 흔히 나오는 바로 그 문제다.

반지름 b인 도체구(conducting sphere)가 있는데, 가운데 반지름 a인 구형 구멍이 뚫려있다. 물론 두 구는 중심이 같은 위치에 있다.

전기 전도도를 g라고 하면, 안쪽에서 바깥쪽으로 흐르는 전류에 대해 이 구멍난 도체구의 저항은 얼마일까?

도대체 얼마일까.

이 문제의 모범적인 해설은 다음과 같다. (아마도.)

대략, 이 문제에서 풀어야 할 영역인 반지름이 a부터 b까지인 영역에는 전하가 없으니까, 푸아송 방정식을 다 풀 필요 없이 포텐셜에 대한 라플라스 방정식을 쓰면 된다. 그것도, 방향에 대해서 등방(isotropic)이므로 다른 항은 다 무시하고 반지름에 관련된 부분만 풀면 된다. 그럼 편미분 방정식도 상미분 방정식으로 바꿀 수 있다. 어쨌든, 포텐셜에 대한 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$(d(r^2(d\phi/dr)/dr)/r^2 = 0$

바깥에 있는 적분 하나는 그냥 해버리고, 그 적분상수를 A라고 하자. $\phi$를 구하기 위해서 적분해야 할 함수는
$-\int_a^b A/r^2 dr = V$
이렇게 된다. 여기서 -랑 V가 붙은 이유는, 전기장을 적분하면 포텐셜이 나오는데 전기장과 포텐셜은 그 정의에 -가 붙어 있기 때문에고, V는 그냥 두 지점 a와 b사이에 걸린 전위차이가 V라고 하고 싶기 때문이다. 그렇다 치고, 적분하자. 그럼 A를 구할 수 있다.
$A=\frac{ab}{a-b}V$
그럼 포텐셜을 구할 수 있다.
$\phi = \frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r}$
미분하고 -를 붙이자. 그럼 전기장이 나온다.
$E=\frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r^2}$
그래봐야 분모에 r이 하나 더 붙은 정도지만.

이제, 옴의 법칙을 풀기 위한 또다른 재료인 전류를 구해보자. 전류는 뭐 균일하게 흐른다 치고, 대충 면적분을 하자.
$I=\int J \cdot dS$
저기서 dS는 나가는 방향의 면적벡터이고, J는 단위면적당 전류밀도이다. 암산으로 적당히 계산하면
$I=4\pi r^2 J$
이제, 원래 J=gE라는 옴의 법칙을 적용하자.
$\frac{I}{4\pi r^2} = g\frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r^2}$
이제, 저항 R=V/I니까 답이 나온다.
$R=\frac{1}{g}\frac{1}{4\pi}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$

간단하게 계산해 보았는데, 이 문제를 다음과 같이 바꾸면 갑자기 어려워진다.

1. 안쪽에 뚫린 구멍이 중심에서 d만큼 벗어나 있다면?
2. 전류가 흐르는 방향이 남극에서 북극이라면?

답은 나도 모름. (계산 안해봐서...)