Vortx라는 놀이기구가 있다.
http://www.teachersource.com/Energy/FantasticRides/TheVortx.aspx
참고로 이 기구의 좀 커다란 버전은 혜화동에 있는 국립서울과학관에 전시되어 있다. 실제로 실험을 해볼 수도 있다.


위에서 동전을 굴려주면 깔때기를 타고 가장자리를 돌다가 점점 속도가 줄어들어서 가운데로 빠져들어가는 거다.

이걸 초등학교 5학년 애들에게 분석하라고 시키는, 대충 그런 느낌의 교재를 개발하는데...

자. 나의 임무는 이것을 물리적으로 분석해서, 동전이 떨어지지 않도록 하려면 어떻게 해야 하는지를 알아내야 한다.
동전이 떨어지는 이유는? 당연히 마찰력 때문이다. 만약 마찰이 없다면 높이는 변할지 몰라도 적당한 궤도를 그리며 잘 돌아갈 것이다.

그럼, 에너지를 써 보자.
$E=T+U$
운동에너지 $T$는
$T=\frac{1}{2}m (r^2 \dot(\theta)^2 +\dot{r}^2 + \dot{z}^2)$
위치에너지 $U$는
$U=mgz$
여기서 $z$는 위쪽 방향, $r$은 회전축에서 나가는 방향, $\theta$는 위에서 보았을 때 반시계방향으로 회전하는 방향이다.

마찰이라는 것은 원래는 보존되었어야 할 에너지인 $E$를 줄이는 역할을 한다. 일단 질량 $m$은 불변이라고 치자. 그럼, 줄어드는 $E$를 보전해 주려면 운동에너지나 위치에너지 중의 하나, 또는 둘 다를 늘려줘야 한다. 가장 쉬운 방법은 위치에너지 $U$를 늘리는 것이다. 어떻게? 중력가속도 $g$를 인위적으로 키워줄 수 있기 때문이다. 그저 위로 확 들어올리면 된다.

다시 원래대로 전체 에너지가 되돌아 가게 되면, 운동에너지와 위치에너지는 서로 변환되면서 원래의 궤도를 만들어 줄 것이다.

두번째 문제는, 시간이 지남에 따라 회전 속도를 알아내야 한다는 것이다.

이번엔, 에너지가 줄어들게 되는 문제를 생각해 보자. 가만히 놔두면 시간이 지남에 따라 전체 에너지가 줄어든다. 그럼 어차피 운동에너지와 위치에너지는 서로 변환되므로, 위치에너지가 최저인 상태에서의 회전 속력을 생각해 보자. 그런데, 전체적으로는 에너지가 줄어들지만, 속력이 줄어들어서 아래쪽으로 내려오게 되면 반지름이 작아진다. 반지름이 작아지면 구심력을 유지하기 위해서는 좀 더 빠른 속력으로 움직여야 한다. 따라서 회전 속도는 점점 빨라지게 된다.

이 문제를 Analytic하게 풀어보려고 했는데, 2차 비선형 상미분 방정식이 등장하는 바람에 풀 수가 없었다. Numerical하게 풀어볼 수도 있긴 하겠지만 시간이 없다. 다음 기회에...
by snowall 2008.10.19 21:47
  • emcc 2008.10.20 19:40 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    전 물리학과는 아니지만 그래도 기계공학과인데 도저히 풀 엄두를 못 내겠네효 -0-
    아 참! 지수, 분수, dot 같은거 어떻게 표시하는거죠? 티스토리에 그런 기능 없는거 같은데..

    • snowall 2008.10.20 20:44 신고 EDIT/DEL

      일반 웹 페이지에서 수식 쓰는 법은
      http://snowall.tistory.com/294
      을 참고해 주세요.

      뭐. 그리고 저라고 잘 푼건 아닙니다. -_-;
      토론을 좀 더 해서 명확해지긴 했는데, 해석적인 답은 여전히 멀어요...

  • goldenbug 2008.10.21 13:34 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    사진만 봐서는 뭔지 잘 모르겠어요. ㅎㅎㅎ

    • snowall 2008.10.21 15:13 신고 EDIT/DEL

      음...국립 서울 과학관에 가면 큰게 있습니다. :)