피라미드의 합

오일러 프로젝트의 18번과 67번 문제다.

3
7 5
2 4 6
8 5 9 3

위와 같은 숫자로 된 피라미드가 있다. 가장 위쪽에서 가장 아래까지 한칸씩 움직이면서 내려온다. 그리고, 내려오면서 그 경로에 있는 숫자를 모두 더한다. 위에 빨간색으로 표시된 길은 그 합이 최대가 되는 경로에 해당한다.

문제. 다음 숫자 피라미드의 꼭대기에서 밑바닥까지 내려갈 때, 합이 최대가 되는 경로를 지난다고 하면, 그 합의 값은 얼마인가?

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

해설에 의하면, 위의 피라미드는 겨우 16단이고, 따라서 가능한 경우가 16384가지밖에 없다. 따라서 모든 경로를 모두 테스트 하는 것이 가능하다. 그런데, 67번 문제는 좀 더 막장이다.

59


73 41


52 40 09


26 53 06 34


10 51 87 86 81


61 95 66 57 25 68


90 81 80 38 92 67 73


30 28 51 76 81 18 75 44


84 14 95 87 62 81 17 78 58


21 46 71 58 02 79 62 39 31 09


56 34 35 53 78 31 81 18 90 93 15


78 53 04 21 84 93 32 13 97 11 37 51


45 03 81 79 05 18 78 86 13 30 63 99 95


39 87 96 28 03 38 42 17 82 87 58 07 22 57


06 17 51 17 07 93 09 07 75 97 95 78 87 08 53


67 66 59 60 88 99 94 65 55 77 55 34 27 53 78 28


76 40 41 04 87 16 09 42 75 69 23 97 30 60 10 79 87


12 10 44 26 21 36 32 84 98 60 13 12 36 16 63 31 91 35


70 39 06 05 55 27 38 48 28 22 34 35 62 62 15 14 94 89 86


66 56 68 84 96 21 34 34 34 81 62 40 65 54 62 05 98 03 02 60


38 89 46 37 99 54 34 53 36 14 70 26 02 90 45 13 31 61 83 73 47


36 10 63 96 60 49 41 05 37 42 14 58 84 93 96 17 09 43 05 43 06 59


66 57 87 57 61 28 37 51 84 73 79 15 39 95 88 87 43 39 11 86 77 74 18


54 42 05 79 30 49 99 73 46 37 50 02 45 09 54 52 27 95 27 65 19 45 26 45


71 39 17 78 76 29 52 90 18 99 78 19 35 62 71 19 23 65 93 85 49 33 75 09 02


33 24 47 61 60 55 32 88 57 55 91 54 46 57 07 77 98 52 80 99 24 25 46 78 79 05


92 09 13 55 10 67 26 78 76 82 63 49 51 31 24 68 05 57 07 54 69 21 67 43 17 63 12


24 59 06 08 98 74 66 26 61 60 13 03 09 09 24 30 71 08 88 70 72 70 29 90 11 82 41 34


66 82 67 04 36 60 92 77 91 85 62 49 59 61 30 90 29 94 26 41 89 04 53 22 83 41 09 74 90


48 28 26 37 28 52 77 26 51 32 18 98 79 36 62 13 17 08 19 54 89 29 73 68 42 14 08 16 70 37


37 60 69 70 72 71 09 59 13 60 38 13 57 36 09 30 43 89 30 39 15 02 44 73 05 73 26 63 56 86 12


55 55 85 50 62 99 84 77 28 85 03 21 27 22 19 26 82 69 54 04 13 07 85 14 01 15 70 59 89 95 10 19


04 09 31 92 91 38 92 86 98 75 21 05 64 42 62 84 36 20 73 42 21 23 22 51 51 79 25 45 85 53 03 43 22


75 63 02 49 14 12 89 14 60 78 92 16 44 82 38 30 72 11 46 52 90 27 08 65 78 03 85 41 57 79 39 52 33 48


78 27 56 56 39 13 19 43 86 72 58 95 39 07 04 34 21 98 39 15 39 84 89 69 84 46 37 57 59 35 59 50 26 15 93


42 89 36 27 78 91 24 11 17 41 05 94 07 69 51 96 03 96 47 90 90 45 91 20 50 56 10 32 36 49 04 53 85 92 25 65


52 09 61 30 61 97 66 21 96 92 98 90 06 34 96 60 32 69 68 33 75 84 18 31 71 50 84 63 03 03 19 11 28 42 75 45 45


61 31 61 68 96 34 49 39 05 71 76 59 62 67 06 47 96 99 34 21 32 47 52 07 71 60 42 72 94 56 82 83 84 40 94 87 82 46


01 20 60 14 17 38 26 78 66 81 45 95 18 51 98 81 48 16 53 88 37 52 69 95 72 93 22 34 98 20 54 27 73 61 56 63 60 34 63


93 42 94 83 47 61 27 51 79 79 45 01 44 73 31 70 83 42 88 25 53 51 30 15 65 94 80 44 61 84 12 77 02 62 02 65 94 42 14 94


32 73 09 67 68 29 74 98 10 19 85 48 38 31 85 67 53 93 93 77 47 67 39 72 94 53 18 43 77 40 78 32 29 59 24 06 02 83 50 60 66


32 01 44 30 16 51 15 81 98 15 10 62 86 79 50 62 45 60 70 38 31 85 65 61 64 06 69 84 14 22 56 43 09 48 66 69 83 91 60 40 36 61


92 48 22 99 15 95 64 43 01 16 94 02 99 19 17 69 11 58 97 56 89 31 77 45 67 96 12 73 08 20 36 47 81 44 50 64 68 85 40 81 85 52 09


91 35 92 45 32 84 62 15 19 64 21 66 06 01 52 80 62 59 12 25 88 28 91 50 40 16 22 99 92 79 87 51 21 77 74 77 07 42 38 42 74 83 02 05


46 19 77 66 24 18 05 32 02 84 31 99 92 58 96 72 91 36 62 99 55 29 53 42 12 37 26 58 89 50 66 19 82 75 12 48 24 87 91 85 02 07 03 76 86


99 98 84 93 07 17 33 61 92 20 66 60 24 66 40 30 67 05 37 29 24 96 03 27 70 62 13 04 45 47 59 88 43 20 66 15 46 92 30 04 71 66 78 70 53 99


67 60 38 06 88 04 17 72 10 99 71 07 42 25 54 05 26 64 91 50 45 71 06 30 67 48 69 82 08 56 80 67 18 46 66 63 01 20 08 80 47 07 91 16 03 79 87


18 54 78 49 80 48 77 40 68 23 60 88 58 80 33 57 11 69 55 53 64 02 94 49 60 92 16 35 81 21 82 96 25 24 96 18 02 05 49 03 50 77 06 32 84 27 18 38


68 01 50 04 03 21 42 94 53 24 89 05 92 26 52 36 68 11 85 01 04 42 02 45 15 06 50 04 53 73 25 74 81 88 98 21 67 84 79 97 99 20 95 04 40 46 02 58 87


94 10 02 78 88 52 21 03 88 60 06 53 49 71 20 91 12 65 07 49 21 22 11 41 58 99 36 16 09 48 17 24 52 36 23 15 72 16 84 56 02 99 43 76 81 71 29 39 49 17


64 39 59 84 86 16 17 66 03 09 43 06 64 18 63 29 68 06 23 07 87 14 26 35 17 12 98 41 53 64 78 18 98 27 28 84 80 67 75 62 10 11 76 90 54 10 05 54 41 39 66


43 83 18 37 32 31 52 29 95 47 08 76 35 11 04 53 35 43 34 10 52 57 12 36 20 39 40 55 78 44 07 31 38 26 08 15 56 88 86 01 52 62 10 24 32 05 60 65 53 28 57 99


03 50 03 52 07 73 49 92 66 80 01 46 08 67 25 36 73 93 07 42 25 53 13 96 76 83 87 90 54 89 78 22 78 91 73 51 69 09 79 94 83 53 09 40 69 62 10 79 49 47 03 81 30


71 54 73 33 51 76 59 54 79 37 56 45 84 17 62 21 98 69 41 95 65 24 39 37 62 03 24 48 54 64 46 82 71 78 33 67 09 16 96 68 52 74 79 68 32 21 13 78 96 60 09 69 20 36


73 26 21 44 46 38 17 83 65 98 07 23 52 46 61 97 33 13 60 31 70 15 36 77 31 58 56 93 75 68 21 36 69 53 90 75 25 82 39 50 65 94 29 30 11 33 11 13 96 02 56 47 07 49 02


76 46 73 30 10 20 60 70 14 56 34 26 37 39 48 24 55 76 84 91 39 86 95 61 50 14 53 93 64 67 37 31 10 84 42 70 48 20 10 72 60 61 84 79 69 65 99 73 89 25 85 48 92 56 97 16


03 14 80 27 22 30 44 27 67 75 79 32 51 54 81 29 65 14 19 04 13 82 04 91 43 40 12 52 29 99 07 76 60 25 01 07 61 71 37 92 40 47 99 66 57 01 43 44 22 40 53 53 09 69 26 81 07


49 80 56 90 93 87 47 13 75 28 87 23 72 79 32 18 27 20 28 10 37 59 21 18 70 04 79 96 03 31 45 71 81 06 14 18 17 05 31 50 92 79 23 47 09 39 47 91 43 54 69 47 42 95 62 46 32 85


37 18 62 85 87 28 64 05 77 51 47 26 30 65 05 70 65 75 59 80 42 52 25 20 44 10 92 17 71 95 52 14 77 13 24 55 11 65 26 91 01 30 63 15 49 48 41 17 67 47 03 68 20 90 98 32 04 40 68


90 51 58 60 06 55 23 68 05 19 76 94 82 36 96 43 38 90 87 28 33 83 05 17 70 83 96 93 06 04 78 47 80 06 23 84 75 23 87 72 99 14 50 98 92 38 90 64 61 58 76 94 36 66 87 80 51 35 61 38


57 95 64 06 53 36 82 51 40 33 47 14 07 98 78 65 39 58 53 06 50 53 04 69 40 68 36 69 75 78 75 60 03 32 39 24 74 47 26 90 13 40 44 71 90 76 51 24 36 50 25 45 70 80 61 80 61 43 90 64 11


18 29 86 56 68 42 79 10 42 44 30 12 96 18 23 18 52 59 02 99 67 46 60 86 43 38 55 17 44 93 42 21 55 14 47 34 55 16 49 24 23 29 96 51 55 10 46 53 27 92 27 46 63 57 30 65 43 27 21 20 24 83


81 72 93 19 69 52 48 01 13 83 92 69 20 48 69 59 20 62 05 42 28 89 90 99 32 72 84 17 08 87 36 03 60 31 36 36 81 26 97 36 48 54 56 56 27 16 91 08 23 11 87 99 33 47 02 14 44 73 70 99 43 35 33


90 56 61 86 56 12 70 59 63 32 01 15 81 47 71 76 95 32 65 80 54 70 34 51 40 45 33 04 64 55 78 68 88 47 31 47 68 87 03 84 23 44 89 72 35 08 31 76 63 26 90 85 96 67 65 91 19 14 17 86 04 71 32 95


37 13 04 22 64 37 37 28 56 62 86 33 07 37 10 44 52 82 52 06 19 52 57 75 90 26 91 24 06 21 14 67 76 30 46 14 35 89 89 41 03 64 56 97 87 63 22 34 03 79 17 45 11 53 25 56 96 61 23 18 63 31 37 37 47


77 23 26 70 72 76 77 04 28 64 71 69 14 85 96 54 95 48 06 62 99 83 86 77 97 75 71 66 30 19 57 90 33 01 60 61 14 12 90 99 32 77 56 41 18 14 87 49 10 14 90 64 18 50 21 74 14 16 88 05 45 73 82 47 74 44


22 97 41 13 34 31 54 61 56 94 03 24 59 27 98 77 04 09 37 40 12 26 87 09 71 70 07 18 64 57 80 21 12 71 83 94 60 39 73 79 73 19 97 32 64 29 41 07 48 84 85 67 12 74 95 20 24 52 41 67 56 61 29 93 35 72 69


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64 66 84 24 18 16 27 48 20 14 47 69 30 86 48 40 23 16 61 21 51 50 26 47 35 33 91 28 78 64 43 68 04 79 51 08 19 60 52 95 06 68 46 86 35 97 27 58 04 65 30 58 99 12 12 75 91 39 50 31 42 64 70 04 46 07 98 73 98 93 37 89 77 91 64 71 64 65 66 21 78 62 81 74 42 20 83 70 73 95 78 45 92 27 34 53 71 15


30 11 85 31 34 71 13 48 05 14 44 03 19 67 23 73 19 57 06 90 94 72 57 69 81 62 59 68 88 57 55 69 49 13 07 87 97 80 89 05 71 05 05 26 38 40 16 62 45 99 18 38 98 24 21 26 62 74 69 04 85 57 77 35 58 67 91 79 79 57 86 28 66 34 72 51 76 78 36 95 63 90 08 78 47 63 45 31 22 70 52 48 79 94 15 77 61 67 68


23 33 44 81 80 92 93 75 94 88 23 61 39 76 22 03 28 94 32 06 49 65 41 34 18 23 08 47 62 60 03 63 33 13 80 52 31 54 73 43 70 26 16 69 57 87 83 31 03 93 70 81 47 95 77 44 29 68 39 51 56 59 63 07 25 70 07 77 43 53 64 03 94 42 95 39 18 01 66 21 16 97 20 50 90 16 70 10 95 69 29 06 25 61 41 26 15 59 63 35

이건 100줄짜리인데, 2의 100제곱 만큼의 경로가 있다. 이걸 모든 경로를 다 해본다는 것은 사실상 불가능하다. -_-;

즉, 그보다 좀 더 똑똑한 방법을 생각해야 한다.

물론 난 두 문제 모두 알고리즘으로 풀었으므로 이 해설을 쓸 수 있는 거다. 알고리즘만 잘 짜면 펜티엄3 800MHz로도 0.1초만에 답이 나오게 할 수 있다.

힌트
1. 이 문제는 해결한 사람이 매우 많다. 이것은 굉장한 힌트가 된다.
2. 모든 경로를 다 해보는 것은 불가능하다는 사실을 이미 알려주고 있다. 이것으로부터도 많은 것을 깨달을 수 있다.

이 문제를 풀기 위해서는, 경로를 실제로 알아내야 할 필요가 없다는 점을 깨달아야 한다. 따라서, 각 지점까지 도달하면서 각 점에 도착할때까지의 최대 합을 알아내면 된다. 그런데, 그 값에 도착하기 위해서는 단 2개의 값으로부터 올 것이다. 처음이 예로 돌아가 보자.

3
7 5
2 4 6
8 5 9 3

여기서, 가운데에 있는 4를 보면, 4에 도달하려면 그 위에 있는 7 아니면 5에서밖에 오지 못한다. 가장 아랫줄에 있는 9 역시 마찬가지다. 그 바로 윗줄의 4 아니면 6에서밖에 오지 못한다. 따라서, 그 점에서의 최대값은 어차피 바로 윗줄의 두 값 중, 큰쪽을 선택하면 된다. 다시말해서, 바로 전 단계까지의 합이 최대값이었다면, 이번 단계에서의 최대값은 그 값에 도착하기 직전의 2개의 값 중, 큰 것을 선택해서 더해주면 된다는 뜻이다. 그리고 이것을 첫 단계부터 시작한다면 가장 아랫줄에는 해당 숫자까지 오면서 가능한 모든 경로의 합 중, 최대값만 남아있게 된다.

따라서, 아랫줄까지 오기 위한 모든 경로 중 숫자의 합이 최대가 되는 것은 그중에서도 최대값을 찾아내면 된다.

그래서, 잘 풀면 다음과 같이 된다.
#define TRISIZE 100
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<glib.h>
#include<glib/gprintf.h>

int max(int, int);
int main(int argc, char* argv[]){
    if(argc==1){
        printf("ERROR. There are no inputs.\n Usage : %s file1\n file1 includes pascal triangle\n", argv[0]);
        exit(1);
    }
    FILE *TRIDATA;
    if(!(TRIDATA=fopen(argv[1], "rt"))){
        printf("ERROR. %s does not exists.\n",argv[1]);
        exit(1);
    }
//여기까지는 파일을 읽어오는 부분이다.

    int a[TRISIZE+1][TRISIZE+1];
    int i,j;
    for(i=0;i<TRISIZE+1;i++){
    for(j=0;j<TRISIZE+1;j++){
        a[i][j]=0;
    }}
//여기까지는 커다란 배열을 만들어서 모든 값을 0으로 초기화 하는 부분이다.

    i=0;
    char buf[400];
    char **buffera;
//g_strsplit을 쓰기 위한 변수 선언이다.

    for(i=0;i<TRISIZE;i++){
        if(fgets(buf,400,TRIDATA)==NULL){
            break;
        }
        buffera=g_strsplit(buf," ", -1);
        for(j=0;j<i+1;j++){
            a[i][j]=atoi(buffera[j]);
        }
    }
//여기까지는 커다란 배열에다가 파일에서 읽어온 값을 집어넣는 부분이다.


    for(i=0;i<TRISIZE;i++){
        a[i+1][0]+=a[i][0];
    for(j=0;j<i+1;j++){
        a[i+1][j+1]=max(a[i][j],a[i][j+1])+a[i+1][j+1];
    }}
//이 윗부분이 핵심 코드다. i행 j열에서 다음 줄로 넘어갈 때 i+1행 j열로 가거나, i+1행 j+1열로 가거나, 둘 중 하나의 선택만이 가능하다.
//따라서, i+1행의 0번째 열은 선택지가 하나밖에 없으므로 그냥 가고, i+1번째 행의 i+1번째 열은 양쪽에서 올 수 있긴 한데, 어차피 바깥쪽은 0으로 도배되어 있으므로 큰 수를 선택하면 왼쪽에서 온 숫자를 고르게 된다. 그 이외의 경우, 가운데 있는 숫자들은 그곳에 도달할 수 있는 두가지 가능성 중에서 큰 숫자를 골라서 원래 숫자에 더한다.
//원래 숫자에 더할 때, 양쪽 선택지 중에 큰 숫자를 더하면서 오게 되면 최종적으로 나타나는 값은 그곳에 도착할 때 까지의 숫자들의 합의 최대값이 나오게 된다. 경로는 모르더라도.


    for(i=0;i<TRISIZE;i++){
    for(j=0;j<i+1;j++){
        printf("%d ",a[i][j]);
    }
    printf("\n");
    }
//그 덧셈을 출력하는 부분이다.
   
    int b=0;
    for(i=0;i<TRISIZE;i++){
        if(b<a[TRISIZE-1][i]){
            b=a[TRISIZE-1][i];
        }
    }
    printf("max sum is %d\n",b);
    return 1;
}
//최대값을 찾아서 출력하는 부분이다.

int max(int a, int b){
    if(a>b){
        return a;
    }
    else if(b>a){
        return b;
    }
    else if(b=a){
        return a;
    }
}
//두 숫자 중 큰 수를 찾아주는 함수다.


사실은 알고리즘 만드는데 2주쯤 고민했고, 코딩에 1시간쯤 썼고, 오류 잡는데 30분쯤 걸렸다.

아무튼, 한번에 2문제를 풀었으니 된거다.