내가 자주 가는 Askhow에서 이런 질문이 나왔다.

정사각형의 정의.. 보통 알고있는 것이 "네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형" 이죠...

 그런데 오늘 문제집에서 "두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형" 이라는 보기를 보았는데요... 이게 틀렸다는데.. 왜 그런지 당최 모르겠네요..(답안지엔 풀이가 없더군요 ㅡㅡ;;)

 요약 : "두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형" 이 정사각형의 정의가 아닌 이유를 알려주세요

대학교 3학년때 기하학 개론을 배운 이후 너무나 오래간만에 만나는 유클리드 기하학 문제다! 반가운 마음에 바로 증명 들어간다.

P : 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형
Q : 두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형

둘 다 정사각형의 정의가 되기 위해서는 서로 필요충분조건이 되어야 한다.

1단계 - P이면 Q이다
우선 이 부분을 증명해 보자. P이면 Q가 되나?

위의 그림에서, 네 변은 모두 같고 각 A, B, C, D는 모두 같다. 이제 증명해야 하는 것은, 각 AEB가 직각이며, 선분 AE, 선분 BE, 선분 DE, 선분 EC가 길이가 모두 같다는 것을 증명해야 한다.

우선, 삼각형 ABD와 삼각형 BCD가 합동이라는 것은 쉽게 증명된다. SSS합동조건을 만족한다. 따라서, 각 ABE와 각 CBE는 같다.

삼각형 AED와 삼각형 AEB는 합동일까? 일단, 변 AD와 변 AB의 길이가 같다. 변 AE는 공통된 변이므로 같다. 헉. 뭔가 부족하다. 변 DE와 변 BE가 같은건 증명하려고 하는 거니까 쓰면 안되고, 3개의 각 중의 하나가 같아야 하는데, 같아보이질 않는다.

이럴때 쓰는게 보조정리다.
보조정리 1 ) 선분 AD와 선분 BC는 평행하다.
증명 ) 각 DAB와 각 ABC는 직각이다. 따라서 선분 AD와 선분 BC를 아무리 길게 양쪽으로 연장하더라도 서로 만나지 않는다. (유클리드의 5개 공리 중 평행선 공리)
**이 부분에서 각 DAB와 각 ABC는 직각이라는 점은 증명하지 않았다. 평면에서 정사각형의 내각은 모두 직각이며, 이 사실은 쉽게 증명할 수 있다.

아무튼. 선분 AD와 선분 BC가 평행하므로, 각 ADE와 각 CBE는 엇각으로 같다. 그리고 각 CBE는 각 ABE와 같았다. 따라서 각 ADE와 각 ABE는 같다. 마찬가지 이유로, 각 DAE와 각 BAE도 같다. 따라서 삼각형 AED와 삼각형 AEB가 합동인 것을 증명하였다. 따라서 각 AED와 각 AEB는 서로 같고, 또한 직각이다.

이와 마찬가지 방법을 이용하면 변 AE, 변 BE, 변 CE, 변 DE가 모두 같은 길이를 갖는 다는 것도 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 P이면 Q이다는 증명 된 명제다.

2단계 - Q이면 P이다

두 대각선의 길이가 같고, 서로 이등분한다고 하였으니 변 AE, 변 BE, 변 CE, 변 DE의 길이는 모두 같다. 그리고 각 AED, 각 BEA, 각 CED, 각 CEB는 모두 같으며 또한 직각이다. 이제 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 AD가 같은지 살펴보고, 각 ADC, 각 ABC, 각 BCD, 각 BAD가 같은지 살펴보자.
일단, 삼각형 AED, 삼각형 AEB, 삼각형 BEC, 삼각형 DEC는 모두 합동이다. 따라서 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 AD가 서로 모두 같은 것은 쉽게 증명 된다.
저기 있는 그 4개의 삼각형은 게다가 직각 이등변삼각형이고 모두 합동이다. 따라서 각 EAD, 각 EAB, 각 EBA, 각 EBC, 각 ECB, 각 ECD, 각 EDC, 각 EDA는 모두 같은 각이다. 따라서, 잘 생각해보면, 각 DAE + 각 EAB는 직각이 된다. 따라서 각 BAD는 직각이다. 나머지 3개의 각에 대해서도 마찬가지 논의로 직각임을 알 수 있다. 따라서 각 ADC, 각 ABC, 각 BCD, 각 BAD가 모두 같은 내각이 되는 것도 확인하였다.
즉, Q이면 P이다.

앞서의 논의에 따라, Q와 P는 서로 필요충분조건이 된다.
따라서 두 정의는 완전히 동치 명제이며, 정사각형을 정의할 때 어느 것을 사용하더라도 문제가 되지 않음을 알 수 있다.

by snowall 2008. 12. 20. 09:58