글
내가 자주 가는 Askhow에서 이런 질문이 나왔다.
정사각형의 정의.. 보통 알고있는 것이 "네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형" 이죠...
대학교 3학년때 기하학 개론을 배운 이후 너무나 오래간만에 만나는 유클리드 기하학 문제다! 반가운 마음에 바로 증명 들어간다. 그런데 오늘 문제집에서 "두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형" 이라는 보기를 보았는데요... 이게 틀렸다는데.. 왜 그런지 당최 모르겠네요..(답안지엔 풀이가 없더군요 ㅡㅡ;;)
요약 : "두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형" 이 정사각형의 정의가 아닌 이유를 알려주세요
P : 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형
Q : 두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형
둘 다 정사각형의 정의가 되기 위해서는 서로 필요충분조건이 되어야 한다.
1단계 - P이면 Q이다
우선 이 부분을 증명해 보자. P이면 Q가 되나?
위의 그림에서, 네 변은 모두 같고 각 A, B, C, D는 모두 같다. 이제 증명해야 하는 것은, 각 AEB가 직각이며, 선분 AE, 선분 BE, 선분 DE, 선분 EC가 길이가 모두 같다는 것을 증명해야 한다.
우선, 삼각형 ABD와 삼각형 BCD가 합동이라는 것은 쉽게 증명된다. SSS합동조건을 만족한다. 따라서, 각 ABE와 각 CBE는 같다.
삼각형 AED와 삼각형 AEB는 합동일까? 일단, 변 AD와 변 AB의 길이가 같다. 변 AE는 공통된 변이므로 같다. 헉. 뭔가 부족하다. 변 DE와 변 BE가 같은건 증명하려고 하는 거니까 쓰면 안되고, 3개의 각 중의 하나가 같아야 하는데, 같아보이질 않는다.
이럴때 쓰는게 보조정리다.
보조정리 1 ) 선분 AD와 선분 BC는 평행하다.
증명 ) 각 DAB와 각 ABC는 직각이다. 따라서 선분 AD와 선분 BC를 아무리 길게 양쪽으로 연장하더라도 서로 만나지 않는다. (유클리드의 5개 공리 중 평행선 공리)
**이 부분에서 각 DAB와 각 ABC는 직각이라는 점은 증명하지 않았다. 평면에서 정사각형의 내각은 모두 직각이며, 이 사실은 쉽게 증명할 수 있다.
아무튼. 선분 AD와 선분 BC가 평행하므로, 각 ADE와 각 CBE는 엇각으로 같다. 그리고 각 CBE는 각 ABE와 같았다. 따라서 각 ADE와 각 ABE는 같다. 마찬가지 이유로, 각 DAE와 각 BAE도 같다. 따라서 삼각형 AED와 삼각형 AEB가 합동인 것을 증명하였다. 따라서 각 AED와 각 AEB는 서로 같고, 또한 직각이다.
이와 마찬가지 방법을 이용하면 변 AE, 변 BE, 변 CE, 변 DE가 모두 같은 길이를 갖는 다는 것도 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 P이면 Q이다는 증명 된 명제다.
2단계 - Q이면 P이다
두 대각선의 길이가 같고, 서로 이등분한다고 하였으니 변 AE, 변 BE, 변 CE, 변 DE의 길이는 모두 같다. 그리고 각 AED, 각 BEA, 각 CED, 각 CEB는 모두 같으며 또한 직각이다. 이제 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 AD가 같은지 살펴보고, 각 ADC, 각 ABC, 각 BCD, 각 BAD가 같은지 살펴보자.
일단, 삼각형 AED, 삼각형 AEB, 삼각형 BEC, 삼각형 DEC는 모두 합동이다. 따라서 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 AD가 서로 모두 같은 것은 쉽게 증명 된다.
저기 있는 그 4개의 삼각형은 게다가 직각 이등변삼각형이고 모두 합동이다. 따라서 각 EAD, 각 EAB, 각 EBA, 각 EBC, 각 ECB, 각 ECD, 각 EDC, 각 EDA는 모두 같은 각이다. 따라서, 잘 생각해보면, 각 DAE + 각 EAB는 직각이 된다. 따라서 각 BAD는 직각이다. 나머지 3개의 각에 대해서도 마찬가지 논의로 직각임을 알 수 있다. 따라서 각 ADC, 각 ABC, 각 BCD, 각 BAD가 모두 같은 내각이 되는 것도 확인하였다.
즉, Q이면 P이다.
앞서의 논의에 따라, Q와 P는 서로 필요충분조건이 된다.
따라서 두 정의는 완전히 동치 명제이며, 정사각형을 정의할 때 어느 것을 사용하더라도 문제가 되지 않음을 알 수 있다.
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