매일매일, 푸! 리! 에!

아침에 수업을 들으러 학교에 가다가 웃긴 생각이 들었다. 푸리에 변환을 일상 생활에 적용할 수는 없을까?^[각주:1]

푸리에 변환이란 어떤 함수를 다른 기본 함수들의 합으로 나타내는 변환 중에서, 기본 함수를 삼각함수들로 표현하는 것을 말한다. 다시말해서, 푸리에 변환을 하면 각각의 삼각함수의 성분이 얼마나 포함되어 있는지 알 수 있다.

가령 Cos(wt)라고 쓴다면, 진동수 w를 갖고 시간t에 따라 진동하는 코사인 함수를 말한다.

자. 일단, 일상생활을 시간에 대한 함수로 표현할 수 있을까? 함수를 숫자에서 숫자로 가는 것 뿐만 아니라, 숫자에서 다른 추상적인 대상으로 가는 것으로 확장한다면 일상생활을 시간에 대한 함수로 표현하는 것은 명백히 가능하다.

이제, 푸리에 변환(?)을 한번 생각해 보자.
f : T -> 일상
여기서, f는 시간공간T에서 일상생활추상공간 {일상생활}로 가는 함수이다. 잠깐! 그럼 푸리에 변환이 안되잖아. 푸리에 변환을 할려면 적어도 저 함수에 코사인을 곱해서 다 더해야 한단 말이다. 따라서, 일상을 다시 덧셈이 잘 되는 숫자로 바꿔야 한다. 바꾸자. -_-;
이 함수는 임의의 함수가 가능하므로, 자리 나름대로 일상->숫자인 적당한 함수 F(일상)을 정의하자. 이때 "숫자"에 해당하는 개념은 아무거나 좋다. 스트레스 같은것? 행복감? 숫자로 표현 가능하다면 어느것이든.

이제 F(f)는 시간에 대한 함수가 되었다. 이제, 푸리에 변환을 해 보자. 앞으로 F라고만 쓰면 F(f)를 뜻하는 것으로 편하게 적도록 하겠다.
[integral over t from 0 to infinity of](F(f(t))*cos(wt)) = G(w)
이 계산을 하면? w는 진동수라고 했으므로, 적당한 함수 G(w)가 나오게 되는데, F라는 함수에 어떤 진동수가 얼마나 많이 들어가 있는지 알려주게 된다. 정확히는 w는 진동수이고 G(w)는 F(f)가 살던 "숫자"와 같은 동네에 산다. 스트레스라든가, 행복감이라든가. 이것을 스펙트럼이라고 한다. 이 스펙트럼을 분석해 보자. w가 0인건 뭘까? 진동수가 0인 것은 주기가 무한대임을 뜻한다. 이것은 평생 한두번 있을까말까 한 일을 뜻한다. 그럼 w가 무한대로 가는 극한은? 이건 아주 쉴새없이 일어나는 일을 뜻한다. 주기가 0이 된다는 거니까.
G(w)를 말 그대로 해석하면 주기가 w인 일이 당신에게 얼마나 많은 스트레스/행복감 등의 숫자를 만드는지 알려주는 것이다. 예를들어, 저 숫자를 스트레스로 잡았다면, G(1/7일)은 7일 주기로 일어나는 일들이 당신에게 스트레스를 주는지 어떤지를 알려준다.

음. 그럼 7일 주기로 일어나는 일들은 여러가지가 있을텐데? 이제 이상한 함수를 또 만들어야 하는데 H(일상)이라는 함수를 만들어 보자. H(일상)은 일상생활을 넣으면 그 주기가 튀어나오는 함수다.

이제,G(H)는 일상생활을 넣으면 그 일상생활이 당신에게 얼마나 스트레스를 주는지 알 수 있게 된다.

그래도 뭔가 맘에 안드는가? 그럼 푸리에의 성지로 오라. 당신을 위한 가장 강력한 수학적 도구의 하나가 준비되어 있으니나...

1. 사실 이러고 노는 것도 직업병이라, 이런 미친 소리만 늘어놓고 있으면 평생 가도 애인을 만들 수 없다는 걸 잘 알고 있지만, 어쩔 수 없다. 본능이 이 글을 쓰라고 말하고 있다. [본문으로]