깡통의 관성모멘트

솜사탕 만들기에 필수적인 깡통.
과연, 그 관성모멘트는 얼마나 될 것인가?

일단, 깡통을 원기둥 껍질(Cylinderical Shell)과 원판 2개로 근사하자.
http://www.hanbitbook.co.kr/web/sample/1178/physics_game_chap01.pdf
이걸 참고해 보면, 원판의 관성모멘트는 $mr^2 /2$ 이다. (계산할줄 몰라서 인용한 것은 아니다 -_-; 적분하기 귀찮아서...주변에 책도 없고...) 깡통에는 원판이 2개 있으니까 $mr^2 $이라고 하면 되겠다.
원기둥 껍질의 관성모멘트는 $mr^2$이다. 물론 여기서 원기둥 껍질의 m은 껍질 부분의 질량만을 의미한다. 앞에 나온 원판의 m은 원판 부분의 질량만을 이야기한다.

이제, 주 재료인 맥주캔이나 웰치스 깡통의 질량과 반지름을 알아보자.
알려진 정보는 다음과 같다.
밀도 : 2.70 g/cm^-3 (http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%8C%EB%A3%A8%EB%AF%B8%EB%8A%84)
캔의 두께 : 0.13mm (http://www.lotteal.co.kr/4_customer/jo.asp?class=1&p=1&cd=4)

그럼 문제는 깡통의 크기인데.
실측 없이 인터넷으로만 검색하려니 힘들다. -_-; 나중에 자로 재든가 해야지...
http://en.wikipedia.org/wiki/Beverage_can
이걸 참고하면 지름이 65mm다. 즉, 반지름은 32.5

높이는...계산해야겠다. 부피가 380ml짜리면, 여백 생각해서 400ml라고 대충 어림잡고, 1ml는 1000세제곱밀리미터다. 그럼, 400ml는 400000세제곱 밀리미터다. 밑넓이는 32.5*32.5*3.14 = 3317이다. 그럼, 4000000을 3317로 나누면 대충 120mm가 나온다. 12센치미터라는 거다.

이제 맥주캔의 원판 부분의 질량을 계산해 보자. 밑넓이는 3317이고, 두께는 0.13이니까 413.21세제곱밀리미터다. 즉, 0.41321세제곱 센치미터다. 알루미늄의 밀도는 1세제곱센치미터당 2.7그램이니까,
0.1115667그램이 된다. 킬로그램으로 바꾸면 0.001115667킬로그램이다.

깡통의 기둥 부분의 질량을 계산하자. 65*3.14*0.13= 3183.96세제곱밀리미터. 그럼, 대략 원판의 3/4정도 된다. 대충 어림계산하면 0.0008 킬로그램. (이래도 되는지 궁금하면 직접 정확히 계산해도 좋다.)

이제, 관성모멘트를 계산하자. 반지름의 제곱은 0.00105625 제곱미터다. 아, 그런데 이 경우 반지름은 동일하고 질량에만 비례하므로, 결과적으로 전체적인 관성모멘트는 질량에 반지름의 제곱을 곱하면 된다. 뭐여...

대충, 질량이 0.002킬로그램이었으니까, 둘을 곱하면 0.000021킬로그램제곱미터가 된다.