마법의 분배함수 3

이제, 분배함수를 어디다 쓰는지 알아보자.
일단...
$Z = \sum exp(-\beta E_i)$

잘 째려보자. 저건 그냥 확률을 다 더한 값이다. 그리고 에너지가 들어가 있다.
i번째 상태에 해당하는 어떤 물리량 $a_i$가 있다고 해 보자. 그럼 $a_i$의 평균은 확률을 곱해서 다 더하면 된다.
$<a>=\sum P(i)a_i$
그런데
$P(i)=exp(-\beta E_i)/Z$
라고 했다. 따라서
$<a>=\sum exp(-\beta E_i)a_i/Z$
이렇게 된다.
아직 감이 잘 안온다. 에너지의 평균값을 구해보자.
$<E>=\sum exp(-\beta E_i)E_i/Z$
흠...뭐지?
아주 잘 째려보면, 다음과 같이 써도 된다는 걸 알 수 있다.
$<E>=-\frac{\partial}{\partial\beta}ln(Z)$
잘 이해가 안되면 직접 Z를 대입해서 미분해 보면 된다.

에너지의 분산도 구할 수 있다. 그냥 한번 더 미분하면 된다.
$<\Delta E^2>=\frac{\partial^2 ln(Z)}{\partial^2 \beta}$

열용량은 온도 변화에 따른 에너지의 변화율이므로 온도로 미분하면 된다 온도는 $T=1/(k\beta)$ 로 표시된다.
$C=\frac{\partial <E>}{\partial T}$

그 유명한 엔트로피도 여기서 구할 수 있다.
$S=\frac{\partial}{\partial T}(kT*ln(Z))$

즉, 분배함수만 알면 열역학에서 쓰는 거의 모든 종류의 값들을 다 알아낼 수 있다는 것이다.
따라서 마법과 같은 함수가 된다.