이제, 분배함수를 어디다 쓰는지 알아보자.
일단...
$Z = \sum exp(-\beta E_i)$

잘 째려보자. 저건 그냥 확률을 다 더한 값이다. 그리고 에너지가 들어가 있다.
i번째 상태에 해당하는 어떤 물리량 $a_i$가 있다고 해 보자. 그럼 $a_i$의 평균은 확률을 곱해서 다 더하면 된다.
$<a>=\sum P(i)a_i$
그런데
$P(i)=exp(-\beta E_i)/Z$
라고 했다. 따라서
$<a>=\sum exp(-\beta E_i)a_i/Z$
이렇게 된다.
아직 감이 잘 안온다. 에너지의 평균값을 구해보자.
$<E>=\sum exp(-\beta E_i)E_i/Z$
흠...뭐지?
아주 잘 째려보면, 다음과 같이 써도 된다는 걸 알 수 있다.
$<E>=-\frac{\partial}{\partial\beta}ln(Z)$
잘 이해가 안되면 직접 Z를 대입해서 미분해 보면 된다.

에너지의 분산도 구할 수 있다. 그냥 한번 더 미분하면 된다.
$<\Delta E^2>=\frac{\partial^2 ln(Z)}{\partial^2 \beta}$

열용량은 온도 변화에 따른 에너지의 변화율이므로 온도로 미분하면 된다 온도는 $T=1/(k\beta)$ 로 표시된다.
$C=\frac{\partial <E>}{\partial T}$

그 유명한 엔트로피도 여기서 구할 수 있다.
$S=\frac{\partial}{\partial T}(kT*ln(Z))$

즉, 분배함수만 알면 열역학에서 쓰는 거의 모든 종류의 값들을 다 알아낼 수 있다는 것이다.
따라서 마법과 같은 함수가 된다.
by snowall 2009. 3. 21. 02:33
  • 通り過ぎる人 2009.03.22 21:15 ADDR EDIT/DEL REPLY

    물리화학배울때 저 분배함수가지고 여러가지 값을 구했던 기억이 나네요 ^^
    재미있는 글 읽고 갑니다,

  • joe812 2009.07.15 15:13 ADDR EDIT/DEL REPLY

    그럼 Z값은 1이 되는건가요? 1보다 클수는 없는건지요??

    • snowall 2009.07.15 16:38 신고 EDIT/DEL

      Z는 그 자체로는 "확률을 모두 더한 값"이기 때문에 1이 됩니다.
      사실은 1이 아니더라도, 어차피 로그를 취해서 미분하면서 사용하기 때문에 자기 자신으로 나누게 됩니다.
      즉, Z에다가 특정한 상수를 곱하더라도 물리적 현상에는 아무런 변화가 없습니다. Z값이 1이건 아니건 상관 없다는 뜻이죠.