사칙연산에 대해서 말을 하자면, 가장 기본적으로 덧셈을 잘 정의해야 합니다.

사칙연산은 모두 이항연산(Binery Operation)이라고 부르는 계산법에 들어가는데, 이항연산은 집합에서 원소 두개를 골라서 그 집합의 원소 하나를 대응시키는 규칙을 말합니다.

+(a,b)=c

라는 형식으로 덧셈을 정의하게 되는데, 이것을 간단하게 쓰기 위해서 a+b=c라고 적습니다.
"덧셈이 어떤 집합 A에서 잘 정의되었다"는 말은 집합 A에서 아무 원소 두개를 골라서 덧셈을 했을 때 항상 다시 A로 그 결과가 들어가는 경우에 사용합니다.

만약 어떤 원소  e가 있어서 집합의 아무 원소 a에 대해서 +(a,e)=+(e,a)=a를 만족한다면 e를 항등원(Identity)이라고 부릅니다. 특별히, 덧셈에 관한 항등원의 이름을 "영,0,zero"이라고 부릅니다.
줄여서 적으면 a+e=e+a=a인 e를 0이라고 부릅니다.

또한, 특정 a에 대해 어떤 원소 n이 있어서 +(a,n)=+(n+a)=e가 나오는 경우가 있는데, 이런 경우 n을 a의 덧셈에 관한 역원이라고 부르고, -a라고 적습니다.

곱셈도 똑같은 방법으로 정의하는데,
x(a,b)=c라고 정의합니다. 그리고 곱셈에 관한 항등원을 1이라고 부릅니다. a에 대한 곱셈의 역원은 1/a라고 적습니다.
아무튼, 이항연산 하나가 잘 정해져 있고, 결합법칙이 성립하면서, 항등원과 모든 원소에 역원이 존재하면 그런 집합을 군Group이라고 부릅니다.
여기서 중요한건 교환법칙이 성립할 필요는 없다는 겁니다. 교환법칙도 성립하는 군은 가환군, 또는 아벨 군이라고 부릅니다.
교환법칙은 a+b=b+a가 모든 a, b에 대해서 성립할 때 교환법칙이 성립한다고 말합니다.

우리가 잘 알고 있는 "숫자"라고 부르는 것들은 모두 교환법칙이 잘 성립하는 가환군을 이루고 있고, 덧셈과 곱셈 역시 우리가 알고 있는 그대로 잘 정의됩니다. 물론 숫자 0과 숫자 1은 각각 덧셈과 곱셈에 대한 항등원입니다.
하지만 숫자가 아닌 여러가지 대상들도 군을 이룰 수 있는데, 숫자 말고도 이런 것들이 많이 있다는 점을 알아두면 됩니다. 그리고 그런 대상중에서는 교환법칙이 성립하지 않는 것이 훨씬 더 많이 있습니다.
결합법칙은 이항연산을 처리하는 순서를 바꿀 수 있다는 법칙인데, 굳이 쓰자면 다음과 같습니다

+(a,+(b,c))=+(+a,b),c) 이고, 이것을 간단하게 쓰면 a+(b+c)=(a+b)+c라고 씁니다.

물론 우리가 아는 대부분의 이항연산들과 대부분의 집합은 결합법칙을 잘 만족합니다.

분배법칙은 이항연산이 두개 이상 정의된 경우에 이항연산의 순서를 바꿀 수 있다는 법칙입니다. 하지만 보통의 군은 이항연산이 1개만 정의되어도 되기 때문에 이항연산이 두개가 잘 정의된 집합을 생각해야 합니다. 그래서 덧셈과 곱셈을 한꺼번에 생각하는 경우가 있는데, 이러한 집합을 환Ring이라고 부릅니다.
정확히는, 어떤 집합이 환이 되기 위해서는 덧셈에 대해서는 가환군이고 곱셈이 잘 정의되어야 하고, 분배법칙이 잘 성립해야만 합니다. 한가지 특징은, 곱셈에 대해서 역원이 존재할 픽요가 없고 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않더라도 상관 없습니다.

분배법칙은 덧셈+과 곱셈*에 대해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다

*(a,+(b,c))=+(*(a,b),*(a,c))이고 간단하게 쓰면 a*(b+c)=(a*b)+(a*c)라고 씁니다.

만약 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하고 덧셈의 항등원을 제외한 모든 원소에 대해서 곱셈에 대한 역원이 존재한다면 이런 집합을 체FIeld라고 부릅니다.

유리수, 실수, 복소수 등은 모두 체를 이루고 있습니다.

사칙연산중에서 두가지를 정의했는데, 뺄셈은 어떤 수의 덧셈에 관한 역원을 더하는 것으로 생각할 수 있고, 나눗셈은 어떤 수의 곱셈에 관한 역원을 곱하는 것으로 생각할 수 있기 때문에 잘 정의됩니다. 단, 덧셈에 대한 항등원은 곱셈에 관한 역원이 없기 때문에 0으로 나누는 일은 하지 않습니다.

이러한 성질들을 이용하면 숫자들이 갖고 있는 여러가지 특성을 잘 이해할 수 있게 됩니다.

by snowall 2006.08.22 21:56
  • 좋아요 2007.04.15 12:48 ADDR EDIT/DEL REPLY

    멋저요!!

  • 좋아요 2007.04.15 13:02 ADDR EDIT/DEL REPLY

    제 블로그에좀 퍼갈게요. (비공개로)

    • snowall 2007.04.15 15:04 신고 EDIT/DEL

      "좋아요"님에 한하여 출처가 이곳임을 퍼간쪽 글의 서두에 명확히 밝히신다면 공개로 퍼가셔도 좋습니다.

  • 좋아요 2007.04.15 13:05 ADDR EDIT/DEL REPLY

    질문있는데요. 행렬에서의 덧셈은 이항연산이 아닌가요? 그러면 다른건가요?
    또 항등원이 존재하기위한 조건에는 뭐가있나요?(어떤집합에서 잘정의되어있다. 뿐인가?)

    • snowall 2007.04.15 15:00 신고 EDIT/DEL

      행렬에서의 덧셈도 이항연산으로 "잘 정의"할 수 있습니다. "누구나 다 아는 자연스러운" 덧셈이 바로 잘 정의된 덧셈의 예가 되겠죠.
      항등원이 존재하기 위한 조건이 어떤지는 잘 모르겠습니다.
      이항연산이 잘 정의된 집합에 이항연산의 결합법칙이 성립하면 "반군semigruop"이라고 합니다.
      만약 semigroup에 있는 원소중에 이항연산에 대한 항등원이 있으면 그런 semigroup을 "모노이드monoid"라고 합니다. 역원에 대한 얘기는 없어도 상관 없죠. 모든 원소가 역원을 가지는 monoid가 group입니다.

  • 좋아요 2007.04.15 13:24 ADDR EDIT/DEL REPLY

    죄송해요. 덧글을 입력할때 비밀번호를 안입력해서 지워지지가 않아요 ㅠ_
    그런데요 어떤집합K가 있는데요 이 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있지 않아요.
    뭐 예를 들면 {0,1}이라고 하면 이 집합도 덧셈에대한 항등원이 존재하는건가요?


    행렬에서의 덧셈도 실수에서의 덧셈과 같은 이항연산인가요? 같다면 둘다 똑같은 덧셈인가요?


    어떤집합에서 분배법칙을 정의할떄 둘중하나는 꼭 덧셈이여야 하나요?

    • snowall 2007.04.15 15:03 신고 EDIT/DEL

      항등원은 있으나 덧셈이 잘 정의되지는 않는 거죠.

      행렬에 관한 얘기는 앞에서 했군요.

      분배법칙을 얘기할 때 나오는 이항연산들은 우리가 아는 덧셈이나 곱셈이 아닙니다. 그냥 이름붙이기를 그렇게 했을 뿐이죠.
      어떤 집합 A이 이항연산 1번과 2번에 대해서 각각 군이고, 1번과 2번이 따로따로 있는게 아니라 분배법칙이 성립하면 그걸 ring이라고 부릅니다. 이름이야 뭐 어떻든 상관 없죠. 단지 예를 들자니 쉬운게 정수, 실수, 이런 것들이고 또한 이항연산의 예를 들어보자니쉬운게 덧셈, 곱셈같은거죠.