이런 문제가 수학에서 다뤄진적이 있는지는 모르겠다.
(근데 아마 가우스가 다뤄봤을 것 같은 문제다 -_-;)
나중에 수학과 친구에게 물어봐야겠다.

특수한 경우 (가장 처음에 떠오른 문제)
가로가 a, 세로가 b인 사각형 모양의 평평한 판이 있다. 이 판으로 2차원 격자를 덮으려고 한다.
격자의 간격은 가로와 세로가 각 n, m이라고 한다. 격자점의 크기는 0이라고 하자.
a, b, n, m이 정해져 있다면, 덮을 수 있는 최대한의 격자점의 수는 몇개일까? 그리고 최소한의 수는 몇개일까?
(판을 놓는 방향은 아무렇게나 놓을 수 있다. 격자점과 변이 평행하게 놓을 필요가 없다는 뜻이다.)

일반화된 경우
단일 폐곡선으로 이루어진 어떤 평면 도형이 있다. 이 도형으로 2차원 격자를 덮으려고 한다.
격자의 간격은 가로와 세로가 각 n, m이라고 한다. 격자점의 크기는 0이라고 하자.
그 평면 도형의 모양과 넓이가 정해져 있고, n과 m이 정해져 있다면, 덮을 수 있는 최대한의 격자점의 수는? 그리고 최소한의 수는 몇개일까?

다차원으로 일반화된 경우
k차원에 닫힌 도형이 있다. 이 도형으로 k차원의 격자점을 덮으려고 한다. 격자의 간격은 k_1, k_2, ..., k_k라고 하자. 격자점의 크기는 0이라고 하자.
그 도형의 모양과 크기가 정해져 있고, 격자의 간격이 정해져 있다면, 이 도형이 포함할 수 있는 최대한의 격자점의 수는? 그리고 최소한의 수는?


1차원인 경우는 쉬워보인다.
2차원인 경우는... 나는 상상도 안된다. 아직은.

이 문제는, 내가 지금 일하고 있는 실험실에서 내가 맡아서 하는 일과 관련되어 떠오른 수학문제이다.
뭐...이걸 풀든 말든 내가 하는 실험의 성공 여부와는 관련이 없긴 하지만.
by snowall 2009.07.30 01:33
  • 고양이처럼 2009.07.30 11:11 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    a>>m, b>>m, a>>n, b>>m 이라면 덮이는 격자점은 일정한 것 같은데.. 뉴메리컬하게 넓이를 계산하는 알고리즘이 되겠네..
    다만 a,b에 비하여 m,n이 충분히 작지 않을경우 최대, 최소가 차이가 어느정도 있을 것이고 그것은 넓이 계산의 에러 범위라고 생각할수 있겠음.
    순수하게 수치해석 입장에서 보면 최대 최소 값은 에러 범위가 되는 것이고, 덮이는 격자의 개수는 넓이에 해당되는 것 같다.
    격자의 개수를 N이라고 한다면
    a*b ~ N*m*n
    N= a*b/m*n +- error
    error < o(1)
    단, a,b > m,n