격자 덮기 문제

이런 문제가 수학에서 다뤄진적이 있는지는 모르겠다.
(근데 아마 가우스가 다뤄봤을 것 같은 문제다 -_-;)
나중에 수학과 친구에게 물어봐야겠다.

특수한 경우 (가장 처음에 떠오른 문제)
가로가 a, 세로가 b인 사각형 모양의 평평한 판이 있다. 이 판으로 2차원 격자를 덮으려고 한다.
격자의 간격은 가로와 세로가 각 n, m이라고 한다. 격자점의 크기는 0이라고 하자.
a, b, n, m이 정해져 있다면, 덮을 수 있는 최대한의 격자점의 수는 몇개일까? 그리고 최소한의 수는 몇개일까?
(판을 놓는 방향은 아무렇게나 놓을 수 있다. 격자점과 변이 평행하게 놓을 필요가 없다는 뜻이다.)

일반화된 경우
단일 폐곡선으로 이루어진 어떤 평면 도형이 있다. 이 도형으로 2차원 격자를 덮으려고 한다.
격자의 간격은 가로와 세로가 각 n, m이라고 한다. 격자점의 크기는 0이라고 하자.
그 평면 도형의 모양과 넓이가 정해져 있고, n과 m이 정해져 있다면, 덮을 수 있는 최대한의 격자점의 수는? 그리고 최소한의 수는 몇개일까?

다차원으로 일반화된 경우
k차원에 닫힌 도형이 있다. 이 도형으로 k차원의 격자점을 덮으려고 한다. 격자의 간격은 k_1, k_2, ..., k_k라고 하자. 격자점의 크기는 0이라고 하자.
그 도형의 모양과 크기가 정해져 있고, 격자의 간격이 정해져 있다면, 이 도형이 포함할 수 있는 최대한의 격자점의 수는? 그리고 최소한의 수는?

1차원인 경우는 쉬워보인다.
2차원인 경우는... 나는 상상도 안된다. 아직은.

이 문제는, 내가 지금 일하고 있는 실험실에서 내가 맡아서 하는 일과 관련되어 떠오른 수학문제이다.
뭐...이걸 풀든 말든 내가 하는 실험의 성공 여부와는 관련이 없긴 하지만.