학부 전자기학 연습문제로 자주 나오고 또한 물리학과 2학년 중간고사/기말고사 시험문제로도 흔히 나오는 바로 그 문제다.

반지름 b인 도체구(conducting sphere)가 있는데, 가운데 반지름 a인 구형 구멍이 뚫려있다. 물론 두 구는 중심이 같은 위치에 있다.

전기 전도도를 g라고 하면, 안쪽에서 바깥쪽으로 흐르는 전류에 대해 이 구멍난 도체구의 저항은 얼마일까?

도대체 얼마일까.

이 문제의 모범적인 해설은 다음과 같다. (아마도.)

대략, 이 문제에서 풀어야 할 영역인 반지름이 a부터 b까지인 영역에는 전하가 없으니까, 푸아송 방정식을 다 풀 필요 없이 포텐셜에 대한 라플라스 방정식을 쓰면 된다. 그것도, 방향에 대해서 등방(isotropic)이므로 다른 항은 다 무시하고 반지름에 관련된 부분만 풀면 된다. 그럼 편미분 방정식도 상미분 방정식으로 바꿀 수 있다. 어쨌든, 포텐셜에 대한 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$(d(r^2(d\phi/dr)/dr)/r^2 = 0$

바깥에 있는 적분 하나는 그냥 해버리고, 그 적분상수를 A라고 하자. $\phi$를 구하기 위해서 적분해야 할 함수는
$-\int_a^b A/r^2 dr = V$
이렇게 된다. 여기서 -랑 V가 붙은 이유는, 전기장을 적분하면 포텐셜이 나오는데 전기장과 포텐셜은 그 정의에 -가 붙어 있기 때문에고, V는 그냥 두 지점 a와 b사이에 걸린 전위차이가 V라고 하고 싶기 때문이다. 그렇다 치고, 적분하자. 그럼 A를 구할 수 있다.
$A=\frac{ab}{a-b}V$
그럼 포텐셜을 구할 수 있다.
$\phi = \frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r}$
미분하고 -를 붙이자. 그럼 전기장이 나온다.
$E=\frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r^2}$
그래봐야 분모에 r이 하나 더 붙은 정도지만.

이제, 옴의 법칙을 풀기 위한 또다른 재료인 전류를 구해보자. 전류는 뭐 균일하게 흐른다 치고, 대충 면적분을 하자.
$I=\int J \cdot dS$
저기서 dS는 나가는 방향의 면적벡터이고, J는 단위면적당 전류밀도이다. 암산으로 적당히 계산하면
$I=4\pi r^2 J$
이제, 원래 J=gE라는 옴의 법칙을 적용하자.
$\frac{I}{4\pi r^2} = g\frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r^2}$
이제, 저항 R=V/I니까 답이 나온다.
$R=\frac{1}{g}\frac{1}{4\pi}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$

간단하게 계산해 보았는데, 이 문제를 다음과 같이 바꾸면 갑자기 어려워진다.

1. 안쪽에 뚫린 구멍이 중심에서 d만큼 벗어나 있다면?
2. 전류가 흐르는 방향이 남극에서 북극이라면?

답은 나도 모름. (계산 안해봐서...)
by snowall 2009. 10. 5. 21:35
  • 머니야 머니야 2009.10.06 12:02 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    헉...resistance를 보니 엄청 새로운데요^^
    잘은 모르지만...흥미있게 보구 가요^^

    • snowall 2009.10.06 12:32 신고 EDIT/DEL

      이런 종류의 계산을 물리 말고 어디다 쓸 수 있을지 고민중입니다.

  • Mr.kkom 2009.10.10 11:01 ADDR EDIT/DEL REPLY

    음.. 좀 더 쉽게 하는 방법은..... 완전히 속이 찬 구를 가정해서 중심에서 표면까지의 저항을 구한 뒤에 속이 빈 곳은 정확히 반대되는 저항이 형성된다고 치는 거죠.^^
    풀이하신 것에서도 분수값 사이의 -가 있는 걸 봐서 (당연히) 정확히 푸신 것 같구요.
    뭐 꼭 전자기학의 미적분까지 동원하지 않더라고 초급미적분으로도 계산이 가능할 것 같긴 합니다.

    마지막에 쓰신 문제는 한 번 풀어봐야겠는걸요. (이걸 추석 전에 적어주셨다면 집에서 풀어보는건데 아쉽네요. ㅎㅎㅎ

    • Mr.kkom 2009.10.10 11:04 EDIT/DEL

      1번 문제는 베셀함수(맞나?) 형태의 전기장을 구해야 풀리는 문제군요. ㅎㅎㅎ 일찌감치 포기하고 갑니다.
      2번이나 풀어야겠네요. 2번은 비교적 쉬워보이네요. 얇게 평면으로 잘랐을 때의 저항의 총합이네요. (전기장을 구한다 해도 (개념만 다를 뿐) 수식풀이방법은 동일할 것처럼 보입니다만...)

    • snowall 2009.10.10 11:07 신고 EDIT/DEL

      네. 그것도 무려 구면 베셀 함수를 써야 할 겁니다.
      아니면 르장드르 함수거나...(저도 뭔지는 모르겠네요.)

      2번이 과연 쉬울지는...잘 모르겠습니다. -_-;;;