최근 나는 다음과 같은 문제를 해결하고 있다.

두 수열 a(i)와 b(i)가 있다. 유한 수열일수도 있고 무한 수열일 수도 있다. 단, 두 수열 a와 b의 인덱스 i가 가지는 영역은 동일하다.

이에 대해서 함수 A(E), B(E), H(E) 를 다음과 같이 정의한다.
A(E) = #{ i | a(i) = E}
B(E) = #{ i | b(i) = E}
H(E) = #{ i | a(i) - b(i) = E}
이때, 어떤 집합 K={ i }에 대해서 #K 는 집합 K가 가지는 원소의 수이다.

그리고, 어떤 함수 C에 대해서 다시 함수 N을 다음과 같이 정의한다.
N(C) = $\sum_E C(E)E$

그렇다면
N(A)-N(B) = N(H)
인가?


이에 대한 나의 증명은 YES이다. 즉, 위의 주장은 참이다.

증명은 다음과 같다.
N(A)에 대해서 다음과 같은 등식이 성립한다.
N(A) = $\sum_E C(E)E$ = $\sum_i a(i)$
왜냐하면 a(i)=E인 원소의 수에 E를 곱한 후, 모든 가능한 E에 대해서 전부 더한 값은 a(i)의 각 값을 전부 더한 것과 같기 때문이다.

B와 H에 대해서도 마찬가지로 쓸 수 있다.
N(B) = $\sum_i a(i)$
N(H) = $\sum_i a(i) - b(i)$

N(H)에 대해서, 급수 안의 덧셈과 뺄셈은 급수 밖으로 꺼낼 수 있다. 따라서 다음의 등식이 성립한다.
N(H) = $\sum_i a(i) - b(i) = \sum_i a(i) - \sum_i b(i)$ = N(A) - N(B)

증명 끝.

검토해주실 분 있으신가요...-_-;

추가 : 수학 전공한 친구에게도 확인해봤고, 처리해야 할 실험 결과 갖고도 검증해 봤는데, 내 증명은 옳다.
아마 그런것 같다.
by snowall 2009. 10. 13. 20:21
  • 핑구야 날자 2009.10.15 12:29 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    어렵네요

    • snowall 2009.10.15 16:44 신고 EDIT/DEL

      근데...
      결국은 안써먹게 되었습니다. -_-;

  • Mr.kkom 2009.10.19 18:42 ADDR EDIT/DEL REPLY

    모르겠습니다. ^^;;
    사실 문제 해석도 제대로 안 해 봤어요. 해석이 좀 까다롭네요. 해석에 성공하면 답을 알아낼 수 있을듯 싶을 정도로...ㅎㅎㅎ

  • 2009.11.11 21:11 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2009.11.11 21:13 신고 EDIT/DEL

      네. 그렇습니다.

      하지만 일단 유한급수에서는 문제가 없구요...

      무한급수에서는 조건을 좀 따로 줘야겠네요 --;;;

      저는 실험 결과를 분석하는거라 유한급수에 한정됩니다.
      댓글 감사합니다. ^^

  • 2009.11.11 21:15 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2009.11.11 21:36 신고 EDIT/DEL

      수렴하는 경우로 한정해야겠군요.
      어떻게 하면 수렴하는 것들만 따져볼 수 있을까요? --;

  • 2009.11.11 21:17 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다