누가 방명록에 물어봐서...

실수 함수 공간의 차원은 무한대이다. 간단히 증명해 보자.

일단 어디서 뭘 갖고 놀지 정해야 하는데, 실수 전체 구간에서 실수로 가는 함수 f(x)들 중 무한번 미분 가능하고 f(x)의 절대값의 제곱을 실수 전체를 대상으로 하여 적분하더라도 그 적분값이 무한대로 발산하지 않는, 즉, 어떤 특정한 실수로 수렴하는 그런 함수들만을 대상으로 하자.

사실은 그냥 미분만 잘 되더라도 상관 없지만...-_-;

이런 함수들은 테일러 급수 전개를 이용해서 다항식으로 전개하여 나타낼 수 있다.

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... =\sum a_n x^n$
테일러 급수 전개에서 $a_n$들이 어떻게 결정되는지는 대충 어딘가에서 들어봐서 다들 알고 있을 것이라 믿고 넘어간다.

이제 내가 하고싶은 얘기는 $S=\{x^n : n = $an positive integer or zero$\}$가 f(x) 공간의 기저가 된다는 것을 얘기하고 싶다. 물론 f(x)공간이 벡터 공간임은 쉽게 증명할 수 있다.

세 함수 f(x), g(x), h(x)가 있고 실수 a, b가 있을 때
f(x)+g(x)도 함수고, af(x)도 함수이며, g(x)+f(x)=f(x)+g(x)이고, (f+g)+h=f+(g+h)이고, ... 등등. 벡터 공간의 10가지 성질을 만족한다는 것은 쉽게 증명해볼 수 있다. 귀찮으니 생략하자. (이 글은 수학 교과서가 아니므로)

어쨌든 벡터 공간에서 어떤 특정한 집합이 있어서, 그 집합에 있는 원소들만 있으면 그 집합의 원소들의 선형 결합으로 그 공간의 모든 원소를 표현할 수 있는 집합을 기저 벡터라고 부른다. 이것이 그것이 되려면 모든 원소를 표현할 수 있고, 서로 중복되지 않는다는 것을 증명해야 한다.

위에서 말한 S가 바로 그런 집합이라는 것을 증명해 보자. 일단, 서로 중복되지 않는다는 것은 쉽게 알 수 있다.
$x^n = x^m$
어느 두 함수가 같기 위해서는 모든 실수에 대해서 이 등식이 성립해야 하는데, 이 등식은 n=m인 경우에만 성립한다. x=0이라는 특정한 경우에는 모든 n, m에 대해서 성립하니까 x가 0이 아니라 하고, 양변을 $x^m$으로 나눠보자. 그럼 $x^{(n-m)} =1$ 이 된다. 물론 이 함수는 x=0이외의 근을 갖지 않으며, 이 등식은 x=0이 아닌 경우에는 성립하지 않는다. 어쨌든 증명된다.

하지만 기저 집합이라는 것을 증명하려면 조금 더 복잡한 과정이 있는데, 서로 중복되지 않는다는 것 뿐만 아니라 서로가 선형 독립이라는 것을 보여야 한다. 즉, 그 집합의 어느 한 원소가 나머지 다른 원소들의 선형 결합으로 표현될 수 없다는 것을 보여줘야 한다.
물론 쉽게 증명할 수 있다.
$x^n = a_0 + a_1 x + ... + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n+1} x^{n+1} + ... $
가 성립하는 적당한 $a_i$ 들이 있다고 해 보자. 없을것 같지만, 일단 그렇다고 치자. 어쨌거나 x=0이외의 모든 실수에서 다 성립해야 하니까, 일단 x=0이 아니라고 하자. 그럼 마찬가지로 $x^n$으로 양변을 나눌 수 있다. 그럼 좌변은 1이라는 상수가 되고, 우변은 뭔가 복잡해 보이지만 어쨌든 x에 따라서 값이 변하게 된다. x=0일때에도, 적당히 계수를 짜맞춰서 발산하지 않게 했다 하더라도 절대로 우변은 모든 실수에 대해서 1이 될 수가 없다.

어쨌거나 선형 독립이다.

S가 기저 집합이라는 것을 증명하려면 한가지를 더 보여줘야 하는데, S의 원소들의 선형 결합으로 모든 함수를 표현 가능해야 한다는 것이다. 물론 이것은 테일러 정리가 보증하는 바이다.

증명 끝.

S의 원소는 무한히 많으므로 함수 공간의 차원은 무한대이다.
뭐, 굳이 S의 농도를 묻는다면 당연히 자연수와 같다.

(응?!)
by snowall 2009.11.04 23:44
  • dbskzh 2009.11.05 19:19 ADDR EDIT/DEL REPLY

    감... 감사합니다!!!


    R에서 R로 가는 함수의 벡터 공간의 기저 벡터가 무한함은 이제 좀 알았는데...
    기저 벡터 수의 농도는 어떻게 계산하죠...???

    무한번 미분 가능한 함수라면 당연히 aleph 0이겠지만 그렇지 않은 함수들까지 포함하면
    어떻게 되나요?

    그리구 어떤 함수가 어떤 구역에서 무한번 미분 가능하면 그 구역에서 테일러 급수 전개가
    가능하다는 것은 어떻게 증명하나요?

    • snowall 2009.11.05 19:52 신고 EDIT/DEL

      자연수랑 1:1 대응시켜보면 알죠 -_-;

      일단...함수들의 공간에 해당하는 기저벡터들부터 찾아봐야겠네요. 음...뭐가 될까요.

      테일러 급수 전개의 가능성에 대해서는 테일러 정리가 잘 보증해 줍니다. 한번 공부해 보세요. 제 블로그 글에도 뭔가 있을 겁니다.

    • dbskzh 2009.11.05 20:35 EDIT/DEL

      snowall.tistory.com '테일러' 관련 글 검색해 봤는데
      "테일러 전개"라는 글 한개밖에 없던데요;;

      푸리에 변환도 재밌지만 테일러도 자주 올려주세요~~~

    • snowall 2009.11.05 20:39 신고 EDIT/DEL

      아, 그거밖에 없었나요 -_-
      꽤 써먹었던 것 같은데...

      뭐, 아무튼 질문하시는 내용들이 꽤 수준있는 내용들이라 저도 교과서 보면서 기억을 복구해가면서 글을 써야 하니까 좀 늦어질 수 있습니다.

    • 꼼지락 2009.11.07 16:56 EDIT/DEL

      f:X -> Y 인 함수들의 집합을 F(X,Y) 이라고 표현하게 되는데요. 이를 보통 집합이라 하지 않고 패밀리라고 합니다. 이 패밀리의 카디널은
      |F(X,Y)| = (|Y|) ^ (|X|)
      입니다.
      이 사실을 이용하면, R에서 R로 가는 함수의 카디널은
      aleph1 ^ aleph1 = aleph2
      가 됨을 알 수 있습니다.

    • snowall 2009.11.08 03:33 신고 EDIT/DEL

      오...그런게 있군요. 집합론을 아예 안배웠더니 제가 헛소리 하고 있었네요.
      알려주셔서 감사합니다. :)