대학교 3학년때 수리물리학 교수님이 수학여행 가서 내준 수학 문제다. (수학이 그 수학이 아니라는 거...)

실수에서 실수로 가는 f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x) = x (x는 임의의 실수)

f(x)를 0.5번 미분한 함수를 구하시오.

문제가 답이 없을(?) 것 같아서 함수를 고쳐둔다. 물론 위의 f(x)=x에 대한 답도 한번 따져봐야겠다.

실수에서 실수로 가는 f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x) = exp(-x*x)
f(x)를 0.5번 미분한 함수를 구하시오.


힌트가 숨어있음. -_-;
나중에 답을 읽어보면 푸하하 웃을 수도 있지만
원래 다들 그렇듯이 수리물리학이라는게
많이 복잡한듯한  계산에 몰두하게 하면서도
사실은 산수 계산에 급급하여
실제로 중요한 부분인 수학은 빼먹게 된다.

사실 나도 조금 두려운게 낚시해놓고서 내가 아는 방법으로 계산을 해봤는데 값이 발산하거나 제대로 안되면 어쩌지 하는 거지만. 논문도 아닌데 뭐 어떤가...ㅋ

----해설----

어쨌든 답은 푸리에 변환과 연관이 있다.

$\hat{f}(k)=\int f(x)\exp(ikx)dx$
라고 하자.
그럼 이것의 역변환은
$f(x)=\int \hat{f}(k)\exp(-ikx)dk$
이다. f(x)를 x에 대해서 미분해 보자.
$f'(x)=\int \hat{f}(k) (-ik) \exp(-ikx)dk$
적분 안에 있는 x는 적분변수인 k와는 무관한 변수이기 때문에 그냥 미분해도 된다. 그렇게 그냥 미분했더니 -ik가 달라붙었다.

두번 미분해 보자.
$f''(x)=\int \hat{f}(k) (-ik) (-ik) \exp(-ikx)dk$
당연히 -ik가 두번 나온다.
n번 미분해 보면 어떻게 될지 뻔하다.
$f^{(n)}(x)=\int \hat{f}(k) (-ik)^n \exp(-ikx)dk$
이래도 됩니까? 라고 물어볼 수도 있지만, 적분이나 급수는 수렴하기만 한다면 뭐든지 해도 된다. (물론 난 아직 수렴성은 증명하지 않았다. 사실 이게 수렴하는지 어떤지에 대해서는 확신이 없다. 증명해본 기억이 없는 듯...)
물론 아직까지 n은 정수다. n에 음수를 넣으면 적분도 할 수 있다. (수렴한다면...)

그럼 혹시 n에 유리수를 넣어도 될까? (아마도) 된다.

그러니까, 결국 0.5번 미분한 함수라는 것은
$f^{(0.5)}(x)=\int \hat{f}(k) \sqrt{-ik} \exp(-ikx)dk$
를 계산하면 된다.

그나저나 내가 본문에 제시한 함수의 푸리에 변환을 어떻게 해야 하는지는 정확히 모르겠다. 원래 가우스 함수는 푸리에 변환에 대해서 불변인 함수이기 때문에 계산이 쉽긴 한데, 지금 계산하기엔 (마음 속의) 여백이 부족하다. 언젠가 이 문제에 대해서 답을 쓸 날이 오겠거니 싶다.
by snowall 2010.02.17 23:26
  • 고양이처럼 2009.12.15 16:07 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    n번 미분한다...라고 할 때 미분 정의에 의해서 n은 정수여야 할 것 같은데..그게 유리수 까지 확장 가능하다면
    sqrt(x) 가 되겠군..

  • 세레 2009.12.15 17:28 ADDR EDIT/DEL REPLY

    y=1에서 적분하면 1/n+1x^(n+1) (n=0)인데
    0.5번 적분하면 y=2*sqrt(x) 같네요.

    • snowall 2009.12.15 18:38 신고 EDIT/DEL

      y=2*sqrt(x)를 0.5번 적분해서 검산을 해봐야겠는데요

  • goldenbug 2009.12.16 07:50 ADDR EDIT/DEL REPLY

    어렵고 심오한 질문인데요. ^^
    고민 좀 해봐야겠네요.

    • snowall 2009.12.16 09:25 신고 EDIT/DEL

      안 바빠지면 답 올리도록 하겠습니다.. ㅋㅋ

    • goldenbug 2009.12.16 10:07 EDIT/DEL

      답은 보통 미분처럼 똑같은 1인가요? ㅋㅋㅋ
      아무리 생각해도 어려워요.

  • dbskzh 2009.12.16 09:09 ADDR EDIT/DEL REPLY

    혹시 넌센스 문제인가요???

    • snowall 2009.12.16 09:25 신고 EDIT/DEL

      안타깝지만 Strict한 수학 문제입니다. ㅋㅋ

  • daewonyoon 2009.12.16 10:15 ADDR EDIT/DEL REPLY

    소수차원이랑 관계가 있을까요?

    • snowall 2009.12.16 10:22 신고 EDIT/DEL

      문제를 조금(?) 바꿔야겠습니다. ㅋㅋ

      생각해 봤는데 이 문제는 답이 제대로 안나올 것 같아요. 아직 계산은 안해봤지만.

      소수차원이랑은 관련 없습니다. ㅋㅋ

      예를 들면, f(x)를 pi번 미분한 것이나 e번 적분한 것들도 정의해 볼 수는 있거든요. 그게 "잘" 정의되는지는 저도 안따져봤습니다만...-_-;

  • Aptunus 2009.12.16 12:20 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    지난번 문제는 저만 모른게 아니였군요 ^^*
    이제 한번 도전 해볼 수 있을 것 같은 기분이~

    • snowall 2009.12.16 13:04 신고 EDIT/DEL

      뭐...하지만 여전히 비슷합니다. ㅋㅋ

  • 애기_똥풀 2009.12.16 14:53 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    한번 미분하는 것은 [ f(x+h)-f(x) ]/ h 의 극한이고,
    두번 미분하는 것은 [ f'(x+h)-f'(x) ]/ h = [ f(x+2h)-2f(x+h) + f(x) ]/h² 의 극한이고,
    3계도함수도 비슷하게 [f(x+3h) - 3f(x+2h) + 3f(x+h) - f(x)]/h³ 의 극한이로군요.
    n 계도함수를, \sum_{i = 0}^{\infty}[ (-1)^i * nCi * f(x + (n-i)h) ] /hⁿ 와 같이 정의한 후에, n = 0.5 를 대입하면 될 것만 같은 생각이 듭니다. 뉴턴이 했던 것과 같이 이항계수 nCr 에서 n 이 자연수가 아니라도 의미를 가지도록 확장하고, 어쩌구저쩌구... 하게 되면 말입니다.

    하지만 해 보지는 않았습니다 ;; ㅋㅋ

    • snowall 2009.12.16 15:27 신고 EDIT/DEL

      그것도 괜찮은 접근법인 것 같습니다. 나중에 검토해 봐야겠네요 ㅋㅋ

  • Aptunus 2010.02.18 01:03 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    역시 문제 속에 답이 있었군요 ㅋ
    푸리에변환은 생각도 못했다는.. ^^;

  • kanbpa 2010.02.18 03:21 ADDR EDIT/DEL REPLY

    형식적이네요 ^^ 실제로 0.5번 미분해야하는 상황이 있는가 궁금하네요(수학에서든 물리에서든...)

    • snowall 2010.02.18 09:14 신고 EDIT/DEL

      수학에서는 쓸일이 있을 것 같습니다. (없더라도, 어쨌든 미분 개념의 확장이라는 측면에서는 중요하죠.)

  • kanbpa 2010.02.18 03:50 ADDR EDIT/DEL REPLY

    궁금해서 찾아보니 제대로 이름도 있고 여러곳에서 쓰이는군요 ^^
    http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus#Fractional_derivative

  • goldenbug 2010.02.18 05:09 ADDR EDIT/DEL REPLY

    안 바빠지셨군요? ^^
    잘 구경(?)하고 갑니다. 즐거운 시간 보내세요.

    • snowall 2010.02.18 09:14 신고 EDIT/DEL

      비밀글을 그냥 오래 두고 있는 것도 그렇고 해서 안바쁜척 해봤습니다.