글
자. 여기까지, 물체 1개가 갖고 있는 운동량은, 누가 그 물체를 건드리지 않는 한 보존된다는 것을 어느정도 알 수 있었다.
아무튼 이번엔 축구공 말고 당구공을 써 보자. 당구공은 직접 실험을 해보기에도 좋다. 그리고 물리학자들이 갖고 놀기에 가장 좋은 장난감중의 하나이다. (당구를 잘 친다면 당신도 물리학자의 소질이...)1 사실 물리학은 아주 많은 (10억 x 10억 x 10억개) 정도의 당구공을 자유롭게 풀어놓았을 때 어떻게 움직이는지 분석하는 학문이라고 봐도 아주 많이 틀리진 않는다.2
그 다음으로 이해해야 할 부분은, 당구공 하나를 단단한 벽에 충돌시킨다고 하자. 이 벽은 매우 딱딱하고 바닥에 확실하게 고정되어 있다. 이때 충돌하는 각도는 정확히 수직으로 들어간다고 하자. 별다른 이변이 없는 한, 당구공은 벽과 충돌한 다음에 반대로 튕겨져 나오게 될 것이다. 벽과 충돌하기 전과 충돌한 후의 운동량을 살펴본다면 크기는 정확히 같고 방향이 반대로 향하고 있을 것이다.3
그렇다면 당구공이 벽면에 대해서 기울어진 방향으로 충돌하는 경우에는 어떻게 될까? 벽면에 대해서 평행한 방향으로는 속도가 변하지 않고, 벽면에 대해서 수직한 방향으로는 속도가 반대 방향으로 변한다. 만약 당구공이 들어갈 때 벽면과 이루는 각도와 나올 때 벽면과 이루는 각도를 비교한다면 같을 것이다. (왜 그런지 정도는 직접 생각해 보자. 그림을 그려보면 쉽게 알아볼 수 있다.) (혹시나 항의를 할 수 있는 당구 고수들도 있기 때문에, 이 상황에서는 당구공과 벽면 사이의 회전이나 마찰같은 것은 고려하지 않기로 했다. 방금.)
당구공이 기울어진 방향으로 움직이는 경우에, 만약에 내가 움직이면서 관찰한다면 어떻게 될까? 당구공과 움직이는 방향을 잘 맞춰보면, 당구공이 벽면에 대해서 수직으로 움직이도록 할 수도 있을 것이다. 그 경우 당구공은 어떻게 튕겨나올까? 자연스러운 대답이겠지만, 벽에 수직으로 부딪친 다음에 수직으로 튕겨나오게 될 것이다. 즉, 앞에서 당구공이 수직으로 충돌한 경우와 같은 상황이 된다. 이것은 앞서서 설명했던 "니가 보든 내가 보든 물리법칙은 동일하다"는 규칙을 따르기 때문이다. 즉, 당구공이 어떻게 움직이고 있든지간에, 내가 속도를 적당히 맞춰서 당구공이 벽에 수직으로 들어올 수 있도록 만들었다면, 그 상황에서 당구공은 벽에 수직으로 충돌해서 수직으로 나가야 한다. 이것이 규칙이다. 그리고 물리학에서 말하는 "공간적 평행이동에 관한 대칭성"이라는 말이 뜻하는 것이다.
이제 어떤 각도로 들어오는 당구공이든지, 벽에 부딪친 다음 어떻게 튀어나갈지 계산할 수 있게 되었다. 이제 쉬운건 그만 하고 조금 더 어려운 것으로 가자. (여기까지 이해가 안된 독자들은 댓글을 통해서 질문을 하면 더 쉬운 설명을 시도하여 보도록 하겠다.)
많이는 말고 조금만 더 어려워지도록 당구공 2개만 해보자. 당구 다이 위에 당구공 2개를 올려놨다. 당구 다이는 마찰이 완벽하게 0이라고 하자. 그리고 당구 다이의 넓이는 무한히 넓다. 무한히 넓은 다이가 국제규격 대대 다이보다 훨씬 크다는 것 정도는 우리 모두 잘 알고 있는 것이라고 생각하고 눈앞에 당구공 두개를 놓자. 두개를 잘 놓으면 전혀 움직이지 않게 놓을 수 있을 것이다. 그리고 아까와 마찬가지로 관찰한다.
음...
아무리 봐도 움직이지 않을 것이다. 가만히 있는 공 2개를 관찰하는 건 따로따로 떼어 놓고 보면 공 1개를 관찰하는 건데 어차피 안움직일 거라는 사실은 앞에서 우리가 관찰한 바와 같다. 역시 당구공끼리는 부딪쳐야 뭔가 멋진 일이 일어날 것이다. 그럼, 가장 쉽게 하기 위해서 똑같이 생긴 당구공 2개를 정면충돌 시켜보자. 더 쉽게 하기 위해서 속도의 크기는 같고 방향만 반대라고 하자. 아, 당구공의 색도 같고 크기도 같다. 점도 없다. 깨끗하게 닦아서 지문도 안 묻었다. 자. 이제 충돌 시켰다.
땅!
충돌하고 나면 뭐 언제나 그렇듯이, 정면충돌 했으니까 서로 반대로 튕겨갈 것이다. 튕겨간 다음의 각각의 운동량은 어떻게 될까? 일단 질량은 똑같으니까, 운동량을 결정하는 것은 속도일 것이다. 솔직히 말해서, 아무런 사전 지식 없이 순수하게 상상만으로 이 문제의 답을 구하는 것은 어렵다. 뭔가가 충돌한 후에 되튀어 나오는 것을 한번도 본 적이 없는 사람이 이 문제의 답을 상상할 수 있을까? 우리가 알고 있는 "반대 방향으로 튕겨가는거 아냐? 당연히?"라는 대답은 전혀 당연한 답이 아니다. 그건 우리가 당구를 너무 많이 쳐봤기 때문에 경험적(=귀납적)으로 얻은 지식일 뿐 어떤 적당한 가설로부터 출발해서 논리적으로 이끌어 낸 결론(=연역적)이 아니다.4 반대로 튕겨나가는 것을 사실이라 하고, 이것이 왜 그렇게 되는지 설명해 보자.
두 당구공이 만나는 순간에, 만약 그 둘이 완벽한 구를 이루고 있고 전혀 찌그러지지 않는다고 한다면, 두 당구공은 정확히 한 점에서 만나게 된다. 그리고 떨어져 나갈 것이다. 그런데, 당구공이 벽에 충돌할 때에도 마찬가지로 벽이 전혀 찌그러지지 않는다고 하면 당구공과 벽은 정확히 한 점에서 만나게 된다. 정확히 한 점에서 만난다는 것은 그 지점 이외에 그 옆에 있는 다른 점들의 영향을 받지 않는다는 뜻이다. 따라서 다른 점들이 평면 위에 있든 구면 위에 있든 그것은 충돌하러 달려가는 당구공이 신경쓸 바가 아니다. 충돌하는 그 한 점에서 전달된 운동량만을 놓고 생각하는 것이다. 그런데 그것만 본다면 벽에 충돌할 때와 공끼리 충돌할 때 일어나는 일이 달라질 이유가 없다. 따라서 당구공은 "벽"에 대해서 "수직"으로 튕겨져 나가게 되는데, 충돌한 "벽"이 구면이기 때문에 "수직" 방향이 결국은 중심에서 바깥으로 나가는 방향이 되고 따라서 충돌한 당구공은 정확히 뒤로 튕겨져 나가게 된다. 두 당구공이 서로 같은 속도로 움직여서 정면 충돌한 경우에는, 두 당구공의 역할을 바꿔서 생각해 봐도 물리 법칙이 달라질 이유가 없으므로 서로 반대로 되튀어 나가게 된다.
다음번엔 서로 빗겨서 맞는 경우를 생각해 보자. 이것도 마찬가지로 벽에 비스듬히 들어간 것과 같다. 마찬가지로 공끼리 만나는 경우에는 "한 점"에서만 만나기 때문에, 공은 "벽"에 대해서 들어간 각도와 나온 각도가 같은 방향으로 나오게 되고 반사법칙에 따라가는 각도로 향하게 된다. 두 공이 서로 다를 이유가 없으므로 두 공은 충돌 후에도 서로 반대 방향으로 갈 것이다. 다만 원래 움직이던 직선과는 기울기가 다른 직선 위를 움직이게 된다. (직접 상상해 보자. 그림은 언젠가 이 글이 책으로 출판될 때 추가될 것이다. 아마도.)
이 현상은 3차원에서도 마찬가지로 상상할 수 있다. 어차피 공 2개가 충돌하는 경우는 3차원이라 하더라도 적당히 방향을 돌려서 보면 2차원으로 표현할 수 있기 때문에 아무런 문제가 생기지 않는다.
이것을 확장하면, 아주 많은 공이 있는, 실제 공기 분자의 경우에도 적용할 수 있다. 실제 공기 분자는 엄청나게 많이 있지만, 모든 충돌을 분자 2개끼리의 충돌로 생각할 수 있다. 각각의 충돌에서 운동량이 보존되므로 모든 충돌에서 운동량이 보존되고, 따라서 전체적인 운동량은 보존된다.
좀 더 멋지게 바꾸면, 우리 우주 전체의 운동량은 보존된다. (아마 -_-;)
이상으로, 운동량 보존법칙에 대한 간단한 이해를 해 보았다. 에너지 보존법칙도 비슷하게 이해할 수 있지만, 에너지 보존법칙은 시간이 가도 변하지 않는 것에 대해서 다뤄야 하기 때문에 조금 더 어렵다. 해밀토니안이나 라그랑지안을 쓰면 툭툭 튀어나오는 것들이 보존법칙이긴 하지만, 수식에 익숙하지 않다면 머릿속을 스파게티나 라면처럼 얼큰하고 느끼하게 꼬아줄 수도 있으므로 다음 기회에 다뤄보도록 하겠다.
아무튼 이번엔 축구공 말고 당구공을 써 보자. 당구공은 직접 실험을 해보기에도 좋다. 그리고 물리학자들이 갖고 놀기에 가장 좋은 장난감중의 하나이다. (당구를 잘 친다면 당신도 물리학자의 소질이...)1 사실 물리학은 아주 많은 (10억 x 10억 x 10억개) 정도의 당구공을 자유롭게 풀어놓았을 때 어떻게 움직이는지 분석하는 학문이라고 봐도 아주 많이 틀리진 않는다.2
그 다음으로 이해해야 할 부분은, 당구공 하나를 단단한 벽에 충돌시킨다고 하자. 이 벽은 매우 딱딱하고 바닥에 확실하게 고정되어 있다. 이때 충돌하는 각도는 정확히 수직으로 들어간다고 하자. 별다른 이변이 없는 한, 당구공은 벽과 충돌한 다음에 반대로 튕겨져 나오게 될 것이다. 벽과 충돌하기 전과 충돌한 후의 운동량을 살펴본다면 크기는 정확히 같고 방향이 반대로 향하고 있을 것이다.3
그렇다면 당구공이 벽면에 대해서 기울어진 방향으로 충돌하는 경우에는 어떻게 될까? 벽면에 대해서 평행한 방향으로는 속도가 변하지 않고, 벽면에 대해서 수직한 방향으로는 속도가 반대 방향으로 변한다. 만약 당구공이 들어갈 때 벽면과 이루는 각도와 나올 때 벽면과 이루는 각도를 비교한다면 같을 것이다. (왜 그런지 정도는 직접 생각해 보자. 그림을 그려보면 쉽게 알아볼 수 있다.) (혹시나 항의를 할 수 있는 당구 고수들도 있기 때문에, 이 상황에서는 당구공과 벽면 사이의 회전이나 마찰같은 것은 고려하지 않기로 했다. 방금.)
당구공이 기울어진 방향으로 움직이는 경우에, 만약에 내가 움직이면서 관찰한다면 어떻게 될까? 당구공과 움직이는 방향을 잘 맞춰보면, 당구공이 벽면에 대해서 수직으로 움직이도록 할 수도 있을 것이다. 그 경우 당구공은 어떻게 튕겨나올까? 자연스러운 대답이겠지만, 벽에 수직으로 부딪친 다음에 수직으로 튕겨나오게 될 것이다. 즉, 앞에서 당구공이 수직으로 충돌한 경우와 같은 상황이 된다. 이것은 앞서서 설명했던 "니가 보든 내가 보든 물리법칙은 동일하다"는 규칙을 따르기 때문이다. 즉, 당구공이 어떻게 움직이고 있든지간에, 내가 속도를 적당히 맞춰서 당구공이 벽에 수직으로 들어올 수 있도록 만들었다면, 그 상황에서 당구공은 벽에 수직으로 충돌해서 수직으로 나가야 한다. 이것이 규칙이다. 그리고 물리학에서 말하는 "공간적 평행이동에 관한 대칭성"이라는 말이 뜻하는 것이다.
이제 어떤 각도로 들어오는 당구공이든지, 벽에 부딪친 다음 어떻게 튀어나갈지 계산할 수 있게 되었다. 이제 쉬운건 그만 하고 조금 더 어려운 것으로 가자. (여기까지 이해가 안된 독자들은 댓글을 통해서 질문을 하면 더 쉬운 설명을 시도하여 보도록 하겠다.)
많이는 말고 조금만 더 어려워지도록 당구공 2개만 해보자. 당구 다이 위에 당구공 2개를 올려놨다. 당구 다이는 마찰이 완벽하게 0이라고 하자. 그리고 당구 다이의 넓이는 무한히 넓다. 무한히 넓은 다이가 국제규격 대대 다이보다 훨씬 크다는 것 정도는 우리 모두 잘 알고 있는 것이라고 생각하고 눈앞에 당구공 두개를 놓자. 두개를 잘 놓으면 전혀 움직이지 않게 놓을 수 있을 것이다. 그리고 아까와 마찬가지로 관찰한다.
음...
아무리 봐도 움직이지 않을 것이다. 가만히 있는 공 2개를 관찰하는 건 따로따로 떼어 놓고 보면 공 1개를 관찰하는 건데 어차피 안움직일 거라는 사실은 앞에서 우리가 관찰한 바와 같다. 역시 당구공끼리는 부딪쳐야 뭔가 멋진 일이 일어날 것이다. 그럼, 가장 쉽게 하기 위해서 똑같이 생긴 당구공 2개를 정면충돌 시켜보자. 더 쉽게 하기 위해서 속도의 크기는 같고 방향만 반대라고 하자. 아, 당구공의 색도 같고 크기도 같다. 점도 없다. 깨끗하게 닦아서 지문도 안 묻었다. 자. 이제 충돌 시켰다.
땅!
충돌하고 나면 뭐 언제나 그렇듯이, 정면충돌 했으니까 서로 반대로 튕겨갈 것이다. 튕겨간 다음의 각각의 운동량은 어떻게 될까? 일단 질량은 똑같으니까, 운동량을 결정하는 것은 속도일 것이다. 솔직히 말해서, 아무런 사전 지식 없이 순수하게 상상만으로 이 문제의 답을 구하는 것은 어렵다. 뭔가가 충돌한 후에 되튀어 나오는 것을 한번도 본 적이 없는 사람이 이 문제의 답을 상상할 수 있을까? 우리가 알고 있는 "반대 방향으로 튕겨가는거 아냐? 당연히?"라는 대답은 전혀 당연한 답이 아니다. 그건 우리가 당구를 너무 많이 쳐봤기 때문에 경험적(=귀납적)으로 얻은 지식일 뿐 어떤 적당한 가설로부터 출발해서 논리적으로 이끌어 낸 결론(=연역적)이 아니다.4 반대로 튕겨나가는 것을 사실이라 하고, 이것이 왜 그렇게 되는지 설명해 보자.
두 당구공이 만나는 순간에, 만약 그 둘이 완벽한 구를 이루고 있고 전혀 찌그러지지 않는다고 한다면, 두 당구공은 정확히 한 점에서 만나게 된다. 그리고 떨어져 나갈 것이다. 그런데, 당구공이 벽에 충돌할 때에도 마찬가지로 벽이 전혀 찌그러지지 않는다고 하면 당구공과 벽은 정확히 한 점에서 만나게 된다. 정확히 한 점에서 만난다는 것은 그 지점 이외에 그 옆에 있는 다른 점들의 영향을 받지 않는다는 뜻이다. 따라서 다른 점들이 평면 위에 있든 구면 위에 있든 그것은 충돌하러 달려가는 당구공이 신경쓸 바가 아니다. 충돌하는 그 한 점에서 전달된 운동량만을 놓고 생각하는 것이다. 그런데 그것만 본다면 벽에 충돌할 때와 공끼리 충돌할 때 일어나는 일이 달라질 이유가 없다. 따라서 당구공은 "벽"에 대해서 "수직"으로 튕겨져 나가게 되는데, 충돌한 "벽"이 구면이기 때문에 "수직" 방향이 결국은 중심에서 바깥으로 나가는 방향이 되고 따라서 충돌한 당구공은 정확히 뒤로 튕겨져 나가게 된다. 두 당구공이 서로 같은 속도로 움직여서 정면 충돌한 경우에는, 두 당구공의 역할을 바꿔서 생각해 봐도 물리 법칙이 달라질 이유가 없으므로 서로 반대로 되튀어 나가게 된다.
다음번엔 서로 빗겨서 맞는 경우를 생각해 보자. 이것도 마찬가지로 벽에 비스듬히 들어간 것과 같다. 마찬가지로 공끼리 만나는 경우에는 "한 점"에서만 만나기 때문에, 공은 "벽"에 대해서 들어간 각도와 나온 각도가 같은 방향으로 나오게 되고 반사법칙에 따라가는 각도로 향하게 된다. 두 공이 서로 다를 이유가 없으므로 두 공은 충돌 후에도 서로 반대 방향으로 갈 것이다. 다만 원래 움직이던 직선과는 기울기가 다른 직선 위를 움직이게 된다. (직접 상상해 보자. 그림은 언젠가 이 글이 책으로 출판될 때 추가될 것이다. 아마도.)
이 현상은 3차원에서도 마찬가지로 상상할 수 있다. 어차피 공 2개가 충돌하는 경우는 3차원이라 하더라도 적당히 방향을 돌려서 보면 2차원으로 표현할 수 있기 때문에 아무런 문제가 생기지 않는다.
이것을 확장하면, 아주 많은 공이 있는, 실제 공기 분자의 경우에도 적용할 수 있다. 실제 공기 분자는 엄청나게 많이 있지만, 모든 충돌을 분자 2개끼리의 충돌로 생각할 수 있다. 각각의 충돌에서 운동량이 보존되므로 모든 충돌에서 운동량이 보존되고, 따라서 전체적인 운동량은 보존된다.
좀 더 멋지게 바꾸면, 우리 우주 전체의 운동량은 보존된다. (아마 -_-;)
이상으로, 운동량 보존법칙에 대한 간단한 이해를 해 보았다. 에너지 보존법칙도 비슷하게 이해할 수 있지만, 에너지 보존법칙은 시간이 가도 변하지 않는 것에 대해서 다뤄야 하기 때문에 조금 더 어렵다. 해밀토니안이나 라그랑지안을 쓰면 툭툭 튀어나오는 것들이 보존법칙이긴 하지만, 수식에 익숙하지 않다면 머릿속을 스파게티나 라면처럼 얼큰하고 느끼하게 꼬아줄 수도 있으므로 다음 기회에 다뤄보도록 하겠다.
- 자꾸 물리학계로 사람들을 꼬셔보려고 한다는 지적을 하는 사람이 있겠으나, 어차피 내가 꼬셔봐야 물리학 전공할 사람은 없으므로 이건 그냥 장난에 불과함을 미리 일러둔다. [본문으로]
- 그러다 보니 당구공이 끈처럼 흐물흐물해지기도 하고, 당구공이 벽을 뚫고 가기도 하지만...뭐 세상이 너무 뻔한 세상이라면 그만큼 재미도 없지 않나. [본문으로]
- 이 경우는 운동량이 보존되지 않은 것 처럼 보이는 경우인데, 사실은 운동량이 보존되었다. 벽의 질량이 무한히 크기 때문에, 당구공+벽으로 이루어진 계의 운동량은 무한대이고, 따라서 당구공이 어느 방향에서 어떻게 들어와서 어디로 가든지 운동량은 무한대이다. 따라서 보존된다. [본문으로]
- 물론, 실험이 조작되지 않는 한 이론은 결코 실험을 이길 수 없다. 이론과 실험의 내용이 다르면 언제나 고쳐야 할 것은 이론이다. 그리고 이론 물리학자들은 이론과 실험이 다르기를 바란다. 아무튼, 실험으로부터 얻어낸 지식은 이론적으로 해석되어야 진정한 과학적 가치를 얻게 되고, 이론적으로 유도돤 결론은 실험적으로 검증되어야 진리로 인정받게 된다. [본문으로]
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