푸리에 변환을 할때 exp(ikx)를 곱해서 적분한다는 건 요새는 대학생들도 아는 사실이다.

왜?

http://snowall.tistory.com/182

일단, 지수함수가 미분과 적분에 대해서 고유함수라는 것은 알려져 있다. 아무튼 미분과 적분은 함수 공간에서의 선형변환인데, 바로 그 선형변환에 대한 고유함수이다.

함수 공간을 벡터 공간이라고 할 때, 두 함수를 곱해서 전체 정의역에 대해 적분하는 것은 두 함수의 내적을 구하는 것이다. 만약 둘중 하나가 basis벡터라면, 그 벡터의 특정 방향에 대한 좌표값을 알 수 있게 된다. 그럼, 지수함수가 어째서 그런 함수공간의 basis를 구성하는지 살펴보자.

basis가 되기 위해서는, 집합의 원소들이 서로 선형 독립이어야 하고, 집합의 원소들의 선형 결합으로 모든 원소를 나타낼 수 있어야 한다.

1. 선형 독립
exp(ikx)를 x에 대한 함수라 하고 k를 인덱스라고 부르자. 그럼 인덱스가 다르면 다른 함수가 된다. 이 함수들은 다음과 같은 성질을 만족한다.
$\int exp(ikx)exp(-ilx) dx = \delta(k-l)$
$\delta(x)$는 x=0이면 정의되지 않지만, x=0이 아닌 모든 구간에서 0으로 정의되며, $\int \delta(x) dx = 1$을 만족하는 함수이다. 이름은 디랙의 델타 함수이다.[각주:1] 크로네커 델타의 연속함수 버전인데, 아무튼, 어떤 특정한 k에 대해서 선형 독립이 아니라고 하자. 그럼 다음과 같이 쓸 수 있어야 한다.
$exp(ikx)=\sum A(n)exp(inx) $
단, 위의 급수에서 n=k인 경우는 빼자.
그럼, 다음과 같은 마술을 부려볼 수 있게 된다.
$\delta(k-k)=\int exp(ikx)exp(-ikx) = \int \sum A(n) exp(inx) exp(-ikx) dx= \sum A(n) \int exp(inx)exp(-ikx)dx = \sum A(n) \delta(n-k)$
근데 난 n=k인 경우는 빼자고 했다. 따라서, 이 계산의 좌변은 0이 아니고 우변은 0이다. 이런 뭣같은 일이 일어난 이유는 전부 애초에 얘들이 선형 독립이 아니라고 가정했기 때문이다. 따라서 그 가정을 부정하고 편한 마음으로 이들이 선형 독립이라는 것을 받아들이자.

아, 일단 n이 연속인 경우도 다뤄야겠다. 그럼 그대로 다음과 같이 바꾸면 된다.
$\delta(k-k)=\int exp(ikx)exp(-ikx) dx = \int \int A(n) exp(inx) exp(-ikx) dn dx= \int A(n)dn \int exp(inx)exp(-ikx)dx = \int A(n) \delta(n-k) dn$
물론 여기서도 적분할 때 n=k인 딱 한점만 빼고 다 지나간다.

2. 표현 가능성
어떤 함수 f(x)가 있다고 하자. 그럼 이 함수를 exp(ikx)로 표현하고 싶으면 일단 다음과 같이 하자.
$f(x)=\int \hat{f}(k) exp(-ikx) dk$
물론, 여기서 $\hat{f}(k) = \int f(x) exp(ikx) dx$ 이다.
이게 왜 되나 살펴보자.
$f(x) = \int \int f(y) exp(iky) dy exp(-ikx) dk = \int\int f(y) exp(ik(y-x))dy dk = \int f(y)\delta(y-x) dy $
근데, 디랙의 델타 함수는 다음과 같은 성질이 있다.
$\int \delta(y-x) f(x) dx = f(y)$
y에 뭐가 있든지간에 f(x)에다가 y를 대입해주는, 뭐 그런 성질이다. 따라서 위의 등식은 성립한다. 적분 순서를 바꿔주는건 엄밀히 설명하지는 않았지만[각주:2] 아무튼 수렴하면 그래도 된다는 것이 알려져 있다.

따라서 exp(ikx)는 함수 공간의 basis로 쓸 수 있다.


  1. 어느 이상한 나라의 특수부대인 델타포스와 헷갈리지 말 것. [본문으로]
  2. 원래 그건 르벡 적분론을 좀 공부해봐야 하는데 사실 나도 공부를 한지 오래되어 새로 공부해야 한다. [본문으로]
by snowall 2010.02.18 00:34
  • 에데사 2010.02.18 10:12 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    이상한 나라 Wonderland의 특수부대 델타포스

  • 포로리 2010.02.18 11:23 ADDR EDIT/DEL REPLY

    핡!!!.. 체링님글 전자기학 담당리플 보고 마구 웃으며 스노우월님 블로그에 처음으로 놀러왔는데
    저를 반기는 글에 저는 마구마구 스크롤을 내려버렸다죠;;;
    아아.. 머리가 하얘졌어요ㅋㅋ 10초만 더 봤으면 큰일날 뻔했어요
    고등학교때 수II 수업 중 유체이탈의 트라우마가.. ㄷㄷㄷ

    • snowall 2010.02.18 12:56 신고 EDIT/DEL

      수식은 그냥 마법에 쓰는 룬 문자라고 생각하세요. ㅋㅋ
      아니면 이집트 피라미드에 기록된 상형문자라든가 ㅋ
      수식 없는 글도 많습니다 ^^