Chern 선생님의 미분기하학 강의 책을 보고 있다.
Lectures on Differential Geometry (Series on University Mathematics Vol. 1)
S. S. Chern, W. H. Chen, K. S. Lam.

토나오게 어렵지만...
아니 근데 "대학 수학 시리즈"인데 대학원까지 나온 내가 이해를 못하겠는걸까 -_-;
확실히 기하학은 나에게 넘사벽인가. 학부때 배운 Elementary Differential Geometry가 진짜 "Elementary" 수준이라는 것을 여실히 느끼고 있다. 아무튼.

간단히 몇가지 개념만 정리하고 가야겠다.
Manifold : Manifold는 어떤 특정한 종류의 집합이다. (공간 같은거) 이 집합 안에 있는 어떤 원소에 대해서, 그 근방에 있는 적당한 집합이 m차원 실수 벡터 공간의 적당한 열린 부분 집합으로 homeomorphic하면 이 집합이 Manifold이다.
쉽게 말해서, 범위를 좁혀서 보면 평범한 벡터 공간처럼 보이는 공간이다. 우리말로는 "다양체"라고 한다. 예를 들어, 구면은 아주 작은 범위에서는 평면과 비슷하니까 다양체가 된다.

Tangent space : 어떤 manifold 에서, 특정한 점을 원점으로 하는 벡터들의 벡터 공간. 수학적으로 엄밀하게 정의하려면 더 복잡한 수식으로 더 엄밀하게 이론을 전개해야 하지만, 나도 이해가 안되므로 여기서 줄인다. 그나저나, 이 공간에서 벡터의 길이는 별로 신경을 안쓰는 것 같다.

Poisson bracket product : X, Y가 어떤 tangent space에 속한 두 벡터라고 할 때, [X, Y] = XY - YX 이다. 여기서 -는 그냥 벡터들끼리 빼는 것이고 XY는, 실제로 tangent space를 정의할 때 "특정한 점을 원점으로 하는 벡터"를 사용해서 정의하는데, 이때 X나 Y들을 연산자로 정의한다. XY는 해당 특정한 점에 대한 연산자를 Y를 먼저 작용하고 X를 나중에 작용한다는 뜻이다. 이쯤 설명했으면 다들 못알아들었을 것이다. 하지만 나도 모르는걸 이보다 더 쉽게 설명하는 것은 불가능하다.

Frobenius Theorem : 그들은 Frobenius 조건을 만족하게 된다...
이해하고 싶은 정리 중의 하나. 아니, 그보다는, 이해는 했는데 이해했던 내용을 잊어서 Chapter 1을 못 넘어가게 하는 원인이 되는 정리. 사실은 기억하고 싶은 정리중의 하나다. 나중에 책 읽다가 써먹는 부분이 나오면 그때 다시 복습하기로 하고 일단 넘어간다.

벡터 공간 : 이건 다들 알다시피, 덧셈 잘되고 길이 잘 바뀌는 것들의 공간이다.
벡터 공간의 Dual : 벡터 공간에서 벌어지는 벡터맨과 침략자들 사이의 1대 1 싸움이 아니다. 정확히는, 벡터공간에서 스칼라 값을 갖는 함수들의 집합이다. 단, 이때 이 함수들 또한 벡터 공간을 이룬다. 그때 함수들이 이루는 벡터 공간을 dual 공간이라고 부른다. dual 끼리는 서로 Dual이다. 우리말로는 "쌍대 공간"이라고 하는데, 역시 익숙해 지지 않는 한글 수학용어다.

텐서 곱(Tensor product) : 원래 Cartesian product라는 것은, 적당히 모아온 여러개의 집합에서 각 집합마다 원소를 하나씩 꺼내서 괄호 안에 넣고, "이제 너네는 한몸이야"라고 선언하고 그런것들로 새로운 집합을 구성하는 것이다. (수학에서는 여러개를 묶어서 하나로 만드는 걸 대충 product라고 부른다.) 근데 Tensor 곱이라는 것은 그렇게 만들어 놓은 집합에서, 다른 새로운 벡터 공간으로 가는 함수와 함께 주어진다.

텐서 : 어떤 벡터 공간 V에 대해서, V를 여러번 묶고 V의 dual 공간을 여러번 묶어서 한몸으로 만든 것을 텐서라고 한다. 즉, 아무튼간에 하나의 벡터 공간으로 이루어진 텐서 곱을 텐서라고 부른다. 행렬의 확장된 형태라고 보면 된다. 하나의 공간에서 원소들을 뽑아 왔기 때문에, 인덱스끼리 바꾸더라도 여전히 텐서로서 유효하다. (일반적인 텐서 곱일 때는 인덱스의 순서를 바꾸면 오류가 발생한다.)

텐서 대수 : 난 4년간 수학을 배워왔지만 아직도 Algebra라는 말의 정확한 뜻을 모르겠다. 텐서 대수란 벡터 공간 V를 0번, 1번, 2번, ... 써서 만든 모든 텐서를 전부 합쳐서(direct sum) 만든 그런 공간이다. 이 공간에 있는 원소들은 아무거나 뽑아다가 합쳐(direct sum)도 다시 이 안에 들어오기 때문에 Algebra가 된다고 한다.

외부 대수 : Exterior algebra는, 반대칭성 contravariant 텐서이다.

...

여기까지가 교재 2장까지의 내용 중 머릿속에 폐허로라도 남아있는 내용을 정리한 것이다. 3장에선 텐서 묶음과 벡터 묶음이 나온다.

좀 더 읽어보고 다음 글을 써보도록 하겠다. 난 역시 해석학이 좋은 것 같다.

by snowall 2010.02.20 00:46