라그랑지안? (2)

1리터에 10km를 가는 자동차가 있다고 하자. 이 자동차로 서울에서 부산까지 500km를 달려간다. 필요한 기름의 양은 50리터일 것이다. 그런데, 강릉까지 200km를 가고, 강릉에서 부산까지 400km를 간다고 하자. 그렇게 되면 필요한 기름의 양은 60리터가 된다. 하지만, 1리터를 갖고 갈 수 있는 양이 항상 10km로 정해지지는 않는다. 차를 달리다 보면 빠르게 달리기도 하고 느리게 달리기도 하는데, 그런 상황에서 공기저항이 차가 달리는 것을 방해하고 이것은 차의 연비를 나쁘게 할 것이다.

기름을 태워서 나온 에너지 * 엔진 효율 = 공기저항이 한 일 + 그 외의 마찰력이한 일

이때, 그 외의 마찰력이란 자동자 자체가 갖고 있는 마찰력인데, 거의 대부분이 미끄럼 마찰력이기 때문에 그 크기가 일정하다. 공기저항의 크기는 대체로 속력에 비례하는 항과 속력의 제곱에 비례하는 항이 있다. 엔진효율은 단순히 상수이므로, 여기서는 1로 가정해도 무방하다.

잘 생각해보자.

공기저항 + 마찰력 = $f(v)$라고 하자. 여기서 마찰력은 상수이므로 속력의 함수로 생각해도 문제가 없어서 $f(v)$안에 그냥 넣어준다.

힘이 한 일 = $\int f(v) ds = \int f(v)\frac{ds}{dt} dt = \int f(v)v dt = \int L(v) dt$

이쯤 되니까, 속력에 대한 적당한 함수를 시간에 대해서 적분한 함수라고 생각해 버리게 되었다. 이게 가능한 이유는, 속력 v는 위치에 대한 함수이고, 위치는 다시 시간에 대한 함수가 되기 때문에 연속해서 미분을 적용할 수 있기 때문이다. 대충 넘어간다.

아무튼, 다음과 같이 위의 식을 다시 써보자

$S = \int L(v(t))dt $

이제 S라는 값을 최소화 시키는 것이 우리의 목표가 된다. 근데, 잠시 헛소리를 해 보자면, 마찰력이 속력에 대해서 변할 수 있겠지만, 또한 위치에 따라서 변할 수도 있다. 그냥 그렇다 치자. (그럴듯 하지 않은가?) 그럼 위의 식은 다시 다음과 같이 변한다.

$S=\int L(v,x;t)dt$

여기서 $L(v,x;t)라는 것은 $v=v(t)$, $x=x(t)$라는 것을 의미한다.

이제 어쩔텐가. S를 최소화 시키면, 가장 싸게 먹히는 방법을 찾아내는 것이다. 기름이 부족한 우리나라에서 이런 식으로 기름을 절약할 수 있는 방법을 알아낸다면 멋질것 같지 않은가?

이제 어떻게 하면 S를 최소화 할 수 있는지 생각해 보자. 여기서, 우리가 바꿀 수 있는 것은 x(t)뿐이다. 출발지점과 도착지점은 정해져 있고, 언제 어디에 있느냐만이 오직 우리의 유일한 자유일 뿐이다. 물론 x(t)를 미분하면 v(t)도 정해지는 것이기 때문에 굳이 부연설명하지는 않겠다.

여기서 소개할 방법은 변분법(Calculus of variations)이다. Calculus를 충치로 아는 사람도 있기 때문에(치과의사들) "변화들의 충치"로 해석하는 실수를 하지 않으려면 우리나라에서 뭐라고 부르는지 알아 두자.

변분법은 원래 이해하기 어려운 것이다. 하지만 그 결과로 유도되는 식은 이해하기 쉽고, 쓰기도 편하다. 심지어 변분법이 뭔지 이해하지 못해도 그냥 외워서 쓸 수 있다. (수리물리학 교과서가 Formula book으로 사용되는 이유이다.)

변분법의 핵심은, "우리가 이미 답을 안다"고 가정하는 것이다. 모르잖아? 이렇게 반문한다면 어쩔 수 없지만, 언젠가 답을 알게 되지 않을 것이냐는 말이다. 아무튼, 답을 안다고 하자. 그리고 그 답을 $x(t)$라고 하자. 그럼, 이제 "답이 아닌" 다른 것들을 생각해 볼 수 있다. 그것들을 $x(\alpha, t)$라고 하자. 이때, $x(0,t)=x(t)$인 성질을 갖고 있다. 그럼 이제 이 오답을 다음과 같이 써볼 수 있겠다.

$x(\alpha,t)=x(t)+\alpha \eta (t)$

일단 이렇게 써놓은 함수가 $x(0,t)=x(t)$라는 성질을 만족한다는 건 분명하다. 그리고, 우리는 언제나 출발지점과 도착지점을 정해놓고 있기 때문에, $\eta(t)$ 는 출발할때와 도착할때에는 항상 0이 되어야 한다.

이제 이걸 위의 S에 대입하자.

$S(\alpha)=\int L(v,x;t)dt = \int L(v(\alpha,t),x(\alpha,t);t)dt $

$x(t)$가 답이 될 때, S는 최소값 (부호를 바꿔주면 최대값)을 가진다는 사실을 알고 있다. 그리고 $x(t)$가 답이 되는 경우는 $\alpha=0$이라는 것도 알고 있다. 최대/최소문제를 해결할 때 가장 좋은 방법은 미분해서 0이 되는 지점을 찾는 것이다. 미분해서 0되는 지점을 찾는 것이 최대/최소 문제의 해결법이라는 것은 고등학교때, 미적분을 처음 배우면서 나타난 최초의 예제이다. 미분 해보자. 수식은 조금 골치아프지만, 일단 해봐야 하는데, 다음편에서 계속...

수식 쓰다 지친다.