라그랑지안? (3)

이 식을 잘 계산하면 되는데,

$\frac{dS}{d\alpha}\right|_{\alpha=0} = frac{d}{d\alpha}\int L(v(\alpha,t),x(\alpha,t);t)dt$

생각해보니 이건 그냥 연습문제이므로 이 글에서는 자세한 설명은 생략한다. 사실 수식 쓰기가 귀찮았다거나 하는 이유는 아니라고 생각해 주자. 미분을 잘 해주고, 부분적분을 한번 해주고, $\eta$로 묶어준 후 경계조건을 적용하면 된다. 그럼 $\eta$가 어떻게 될지 아무도 모르지만 그럼에도 불구하고 답이 나와야 하기 때문에, $x(t)$가 어떤 조건을 만족해야 하는지 알아낼 수 있다.

$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$

바로 이 공식인데, 이것은 굉장히 중요하다. 외워두더라도 먹고사는데 지장이 없을 정도로 중요한 공식이다. 위의 방정식을 만족하는 $x(t)$는 S를 최소화 시킬 수 있다. (이 식을 만족하는 x(t)가 왜 S를 최소화 시키는지는, 대입해서 미분해보면 된다.)

중요한건 이 공식이 유도되는 과정이 아니다. 사실 여기까지는 단순히 수학이고, 따라서 아직 "물리"라고 부르는 것은 전혀 나오지 않았다. 물리학이 되려면 이제 이 공식이 현실에서 어떻게 사용되는지, 현실을 어떻게 표현하는지 얘기해야 한다.

물리학이 뭘 하는 학문인지 잊어먹고 있었는데, 다시 한번 생각해보자. 우리는 무엇을 물리학이라고 부르나? 사실은 이 세상에서 일어나는 현상들은 모두 물리 법칙을 따르는 것으로 관찰된다. "현상(Phenomenon)"이란 또 뭘까? 우리가 관찰하고 있는 모든 것이다. 이렇게 말하면 순환논리인 것 같으니까 여기까지만 하고, 어쨌든 물리학이 뭔지 잘 생각해 보면 어떤 관찰 대상에 대해서, 그 관찰 대상을 표현하는 수 몇개를 잘 정의한 후 그 수들이 어떻게 변해 나가는지 알아내는 것이다.^[각주:1] 이제 물리학이 어떤건지 정했으니까, 여기다가 물리학을 어떻게 끼워넣을지 생각해 봐야 한다. 물리학에서 S라는 값이 있다고 할 때, 우리는 여기에 "물리 법칙"이라는 이름으로 하나의 규칙을 넣는다. 그것은 "우리가 관찰하는 대상을 표현하는 수들은 S를 최소화 하는 방향으로 변화해 나간다"는 것이다. 그냥 S라고만 부르면 재미가 없으니까 여기에 이름을 붙여주자. 그 이름은 "작용(Action)"이다. 그리고 이 규칙의 이름을 "최소 작용의 원리(Least action principle)"라고 부른다.

물리학에서 S라고 부르는 값이 있다고 하면, 수학에서 원래 그 S를 어떤 함수의 적분으로 정의했었기 때문에 물리학에서도 그것에 해당하는 어떤 함수가 있을 것이다. 그 함수를 L이라고 부르자.^[각주:2] 우리는 현상이 "시간"에 따라 변하는 것을 관찰하고 있기 때문에 L의 변수는 시간이 될 것이다. 그리고 결정적으로 L에 넣어서 우리가 알고 싶은 값이 뭔지를 정해야 하는데, 그것은 대부분의 경우 위치와 속도가 된다. 그냥 x와 v라고 부르자. 그럼 이제 L이 x와 v의 함수이긴 한데, 어떤 함수인지를 알아야 한다. 아무리 라그랑지안이 전가의 보도라 하더라도 어떻게 생겼는지 모른다면 아무 문제도 풀 수 없다. 우리가 관찰하고 있는 계의 라그랑지안을 알아내야 할 것이다. 그럼 도대체 라그랑지안이란 뭔데? 왜 라그랑지안을 L=T-V로 정의하는걸까?

(다음 글에 이어서...)

(글이 어려운지 쉬운지 산으로 가고 있는지 읽고 있는 분이 있다면 댓글좀 달아주세요...)

http://www.ks.uiuc.edu/Services/Class/PHYS480/qm_PDF/chp1.pdf
상세한 수학 공식의 유도는 이 문서를 읽어보면 좋을 것 같다.

1. 이런식으로 물리학을 정의하고 해석하는 것에 대해서는 여러가지 의견이 있을 수 있고, 내 정의나 해석이 전적으로 올바르지 않을 수 있다. 아무튼 그렇다 하더라도 내 정의가 굳이 진리에서 많이 틀리지는 않았을 것이다. [본문으로]
2. 갑자기, 슬레이어즈 소설판 작가 후기에 나오는 S와 L이 생각났다. 그들이 누구인지 아시는 분이라면 S의 근원이 L이라는 것도 아시리라 생각한다. [본문으로]