수학자들은 습관적을 일반화시키기를 좋아한다. (거의 직업병임.)

http://snowall.tistory.com/1852

일단 이 글을 읽고나서, 다음과 같은 문제를 풀어보자.
정확히 1시간동안 타는 도화선이 여러개 있다. (얼마든지 쓸 수 있다.)

이 도화선을 이용해서 1분부터 59분까지, 각 1분 간격으로 모든 시간을 잴 수 있을까?
잴 수 있다면 어떻게 가능한가?
모든 경우에 대해서 불가능하다면, 가능한 경우가 있고 불가능한 경우가 있을 것인데, 어떻게 구별할 수 있을것인가?

일단, 앞에 이미 썼던 쉬운 경우의 문제에 대해서, 15분, 30분, 45분이 가능함은 쉽게 증명할 수 있다. 또한, 만약 n분을 잴 수 있다면 n+15분, n+30분, n+45분을 잴 수 있다. (이것은 쉽게 증명된다.) 따라서 1분부터 14분까지 잴 수 있다는 것만 증명하면 된다.

또한, 만약 n분을 잴 수 있다면 15-n분도 잴 수 있다. (이것 또한 쉽게 증명된다. 15분과 n분을 동시에 재기 시작한 후, n분이 다 끝난 시간부터 15분이 끝날 시간까지 재면 15-n분이 된다.) 따라서 1분부터 7분까지 잴 수 있다는 것만 증명하면 된다.

n분을 잴 수 있고 m분을 잴 수 있다고 하자. 여기서 m과 n은 둘 다 임의의 자연수이고 m>n이라고 하자. 그럼 m-n분도 잴 수 있다. (앞에서 15-n분을 잰 것과 같다.)

만약 n분을 잴 수 있다면 임의의 자연수 m에 대해서 m*n분도 잴 수 있다.(n분을 재는 것을 m번 반복하면 됨.) 따라서 1분을 잴 수 있다면 이 문제는 모두 해결된다.

7분을 잴 수 있다고 하자. 그럼 앞에서 말한 방법을 통해 15-7=8분을 잴 수 있다. 그럼, 따라서, 8-7=1분도 잴 수 있다.
따라서 7분을 잴 수 있다는 것만 증명해도 이 문제는 모두 해결된다.

만약 4분을 잴 수 있으면 8분을 잴 수 있다. 그럼 7분도 잴 수 있고, 따라서 이 문제는 모두 해결된다.

만약 2분을 잴 수 있으면 4분을 잴 수 있으므로 문제가 해결된다.

즉, 1분, 2분, 4분, 7분 중의 하나만 잴 수 있어도 이 문제가 해결된다.
(좀 더 정확히 말하면, 3과 5의 배수가 아닌 분 중의 하나라도 잴 수만 있으면 이 문제는 해결된다.)

이후로는...아직 생각이 안난다.

그럼, 이제 좀 더 어려운 문제에 도전해 볼 수 있다.

정확히 1시간동안 타는 도화선이 여러개 있다. 이 도화선을 이용해서 주어진 유리수 k에 대해서 k분의 시간을 잴 수 있을까?

그리고 좀 더 자극적인 것을 원하는 사람을 위하여 다음과 같은 문제를 준비해볼 수 있다.

정확히 1시간동안 타는 도화선이 여러개 있다. 이 도화선을 이용해서 주어진 실수 k에 대해서 k분의 시간을 잴 수 있을까?

추가하자면, 이 문제는 대수학 문제다. 군의 정의와 확장이 필요하다.
by snowall 2010. 4. 22. 17:44
  • libertan 2010.04.22 22:38 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    도화선이 타들어가는 속도가 일정치 않으므로 일반 대수학적 방법으로는 15분까지만 가능해 보임.

    아무튼 이렇게 대수학적으로 해결불가인 문제들은 '그냥 대충 찍으면 된다'고, 몬테 카를로 백작께서(? -_-;; ) 말씀하셨지~!

    e.x> 1분 대충 찍기
    1. 도화선 한 웅큼을 집어 각각 60등분
    2. 뿌렸다가 다시 거둠 (화투패 섞듯이 해도 무방)
    3. 조각 N개를 펼쳐놓고 동시에 점화 (단, N >> 1)
    4. N/2개가 다 타면 대충 1분

    ref>
    알다시피 우리가 쓰는 '시간'이라는 개념 자체가 바로 이렇게, N 개의 세슘 원자들에 포함된 N' 개의 전자들이 쏘아주는 N'개의 광자들을 백작님께서(?) 측정한 물리량임 - http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock (2010년 현재에도 1 ps/day 이상의 오차범위(불확실성)가 있음).

    • snowall 2010.04.22 22:41 신고 EDIT/DEL

      하루에 1ps면 쓸만하죠 뭐 -_-

      몬테카를로 방법도 괜찮군요
      N이 충분히 커야 할 것 같습니다.

  • 탠저린양 2010.04.23 05:30 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    와...........................

    스놀님 무서워요 ;ㅁ; ㅋㅋㅋ

    좋은자료! 캬

    • snowall 2010.04.23 08:46 신고 EDIT/DEL

      겁내지 마세요. 물지는 않습니다. ㅋ

  • 조금 써봅니다 2010.11.10 23:00 ADDR EDIT/DEL REPLY

    공부하다가 이곳을 발견해서 이것저것 보고 있는 학생입니다.
    옛날 글인데다가 저같은 학생이 멋대로 글을 써도 되나 싶지만... 일단 제 생각을 조금 써보겠습니다.
    일단 정상적인 인간이 할수 없는 범위의 행동을 할수 있다면 모든 유리수의 시간을 측정할수 있다고 생각합니다.
    예를 들어 60/6인 10초를 세는 방법은 하나의 도화선의 양쪽 끝,그 도화선 내의 어느 두점 , 이렇게 총 4곳에 불을 붙힙니다.
    그렇다면 3개의 '양쪽이 타고있는 도화선'이 생기게 되는것입니다.(총 6곳이 타들어가는 상황)
    이중 하나가 전부 타면 남은 두개의 타고있는 도화선중 어느 하나의 중간부분에 발화를 하면 또다시 3개의 도화선의 양쪽이 타게 되는 상황이 됩니다.
    한마디로 타고있는 부분을 언제나 6곳으로 할 수 있고 이로서 60/6을 측정할 수 있다는 것입니다
    이 방법을 사용해서 60/2n초를 세고 싶다면 처음 1시간짜리 도선의 양쪽 끝과 중간 n-1부분에 불을 붙이고 전부 타들어가는게 나올 때 마다 아직 남아있는 도선중 하나의 중간부분에 불을 붙이면 될것같습니다.
    물론 이는 시간이 거의 다 됬을때는 무한한 횟수의 발화를 해야 하는 등 인간으로서는 불가능하지만 수학적으로는 가능하다고 생각해서 글을 올려봅니다.

    여기서 사용할수 있는 최소한의 행위는 n개의 타고있는 점을 이용할수 있다는 것이므로 실수는 안된다고 생각합니다.

    • snowall 2010.11.11 01:39 신고 EDIT/DEL

      감사합니다. 일단은 저는 1시간짜리 도화선으로 "분"을 재는 문제를 말씀드렸지만...뭐 문맥상 이해에 별 문제는 없구요.

      제가 본문에서 증명하지는 않았지만, 3과 5의 배수가 아닌 n분을 잴 수 있어야만 합니다. 그런데 60/6 = 10분을 잴 수 있는 방법을 제안하셨기 때문에 이것만으로는 문제가 모두 해결되지 않습니다.

      그리고 가운데 2점씩을 찍어서 하나가 다 탈 때마다 새롭게 불을 붙일 때, 과연 전체적으로 다 타는 시간이 10분이 될 것인가는 좀 더 상세한 증명이 필요할 것 같습니다. 될 것 같긴 한데, 저는 엄밀한 증명은 안 떠오르네요.

    • 조금 써봅니다 2010.11.11 23:37 EDIT/DEL

      답변 감사합니다. 초가 아니라 분이였군요....
      10분을 젠것은 60/2n중 하나의 예시를 든것입니다.
      이전 댓글의 아랫부분에 쓴대로 한다면 처음 1시간짜리 도선에서 양쪽 끝과 도선 사이의 어느 29군데에 불을 붙인다면 30개의 나눠진 도화선의 양쪽이 타는 형태로서 타고있는 점은 60곳이 되고 예시와 같이 하나가 다 탈때마다 다른 타고있는 도화선의 중간을 태워서 언제나 60곳의 타고 있는 부분을 만든다면 된다는 생각입니다
      제가 너무 도선을 이상적으로 구현해서 실수를 한지는 모르겠으나 libertan님의 댓글을 보면 60등분을 해서 태울때 이 도선들의 남은 시간의 합이 60분이여야 가능한 방법이라고 생각했습니다.
      ※(=절단으로 인한 총 시간의 변화는 없다)
      이 이전 글의 풀이를 보면 총 30분짜리 도선의 양쪽 끝을 태워서 15분을 만드는 방법이 사용 되었기 때문에 어떤 점에서 어떤 방향으로 타들어가는 정도는 우리가 알수는 없지만 정해서는 있다고 생각했습니다.
      ※(=t분 남은 도선의 양쪽을 태우면 t/2분만에 다 탄다)이런 전제가 있다면 성립힌다고 생각합니다.

      편의상 앞으로 t분 남은 도선이란 그 도선의 한쪽에 불을 붙혀 태울때 t분에 다 타는 도선이라 하겠습니다(양쪽을 태우면 t/2분 걸린다고 생각하겠습니다.)...위에도 썼지만...

      조금 다른 생각을 한다면 발화점을 60개로 잡는게 아니라 양쪽이 타고있는 30개의 도선으로 나눴다고 생각해보겠습니다. 일단 처음에 각각 a1,a2,,,,a30분의 시간이 남은 도선으로 나눠졌다고 하면(작은 순이라고 하겠습니다,총합은 60분)
      (a1)/2분 이후에는 (a2-a1),(a3-a1),,,(a30-a1) 분이 남은 도선 29개가 남게 되는데(a1분 남은 도선에서 양쪽이 타고있었으므로 이는 다 타버림) 이들의 남은 시간의 합은 a1+a2+a3+...+a30-30(a1)=60-30(a1), 이들중 하나의 도선의 중간을 태우기 시작하여 양쪽이 타고있는 30개의 도선을 다시 만들면 b1,b2,b3,b4,,,b30분이 남은 30개의 도선이 되는데 이들의 합도 여전히 60-30(a1)분이 됩니다.
      이를 반복하면 t분 후에도 도선들의 남은 시간의 합이 60-60t분이 될 수 있게 할수 있고 이는 다 타서 도선들의 남은 시간이 0가 될 때는 t=1인 1분 후라는 것입니다.

      말씀하신 엄밀한 증명이 이것으로 충분한지는 모르겠습니다... 제 한계는 여기라는건 거의 확실하네요.