글
A4 대칭성이 뭔지 알려면 일단 순열 대칭군부터 배워봐야 한다.
"순열"이라는 건 영어로는 Permutation인데, 고등학교때 다들 배웠다. 순열, 조합, 확률, 그런데서 나오는 바로 그 순열이다. 말은 거창하고 문제는 어려워 보이지만 사실 그냥 물건 여러개 갖다 놓고 늘어놓는 방법의 수를 세는 방법에 관한 이야기이다.
서로 다른 물건이 1개 있다. 1개 있는 주제에 "서로 다르다"라고 말하는 것 자체가 사치이고 낭비인 것은 알지만, 앞으로 1 대신에 임의의 자연수 n을 쓸 수도 있기 때문에 일단 이렇게 말해 보자. 그럼 1개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는? 고민하지 말자. 답은 1가지이다.
서로 다른 물건이 0개 있다. 그럼 0개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는?
뭐 어쩌라고. 이렇게 말하는 사람이 있겠지만, 물건이 0개 있다면 늘어놓지 않는 수밖에 없으므로 답은 1가지이다.
사실 이런거 계산하는건 굉장히 쉽다. 그냥 물건이 n개 있다고 하면, n개 다 늘어놓는 방법은 n-1개 늘어놓은 상태에서, 그 사이사이에 나머지 하나 끼워넣는 것과 마찬가지이다. n-1개를 늘어놓는 방법도 마찬가지다. 따라서 n개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는 n부터 1까지 정수를 모두 곱한 값이다. 이렇게 계산하는 건 굉장히 흥미롭고, 특별하기 때문에 수학자들은 여기에 계승(factorial)이라는 말을 붙여주었다. 함수 기호도 있는데, !(느낌표)을 쓴다. 가령 6!이라고 썼다면 이것을 읽을 때 "육!!!!!!"이라고 읽으면 부끄러운줄 알아야지.1
아무튼, 만약 물건들이 구별이 안가면? 가령 100원짜리 동전 100개를 늘어놓는데, 그 동전들이 다 같은 해에 만들어진 동전이라고 하자. 손때도 안묻었다. 이걸 늘어놓는 방법의 수는? 1가지뿐이다. 수학자들은 구별이 가지 않는건 굳이 구별하지 않기로 했는데, 100원짜리들을 서로 구별할 수 없기 때문에 어떤 놈을 먼저 꺼내다가 늘어놓더라도 뭘 먼저 꺼낸 건지 알 수가 없으므로 1가지라고 한다.
구별 가능하다면 100!이라는 엄청나게 많은 방법으로 늘어놓을 수 있는데2 구별이 안되면 왜 한가지 뿐인가. 그것은 구별 가능하지 않은 경우의 수도 엄청나게 많기 때문이다. 100!가지 방법으로 늘어놓아봐야 100!가지 경우의 수를 모두 구별할 수 없기 때문에, 100!/100! = 1가지 방법만 남는다. 내가 방금 설명하면서 아무 생각 없이 나눗셈을 사용하였는데, 그래도 되는지 궁금할 것이다.
생각해 보자. 1000원짜리 우유를 사는데, 100원짜리 5개와 500원짜리 1개로 산다. 동전을 한개씩 가게 아줌마한테 주는데 그럼 과연 어떤 방법으로 줄 수 있을까? 물론 겨우 동전 6개를 하나씩 세면서 준다면 아줌마가 당신을 혼내주겠지만, 이제 그런것에 연연할 나이는 지났지 않은가. 물론 그렇다고 실험해 보라는 뜻은 아니므로 실험하다가 수퍼마켓 아줌마가 당신을 때리더라도 내 책임은 없다. 여기까지 읽는 사이에 계산 끝났는가? 100원짜리를 어떻게든 늘어놓고나서, 그 사이사이중에서 1칸에 500원짜리를 끼워넣는 방법의 수를 생각해 보면 된다. 그럼, 100원짜리 5개를 늘어놓는건, 역시 구별이 안되니까 한가지 방법밖에는 없다. 500원짜리 1개는 아무데나 끼워넣어도 되는데, 가장 앞에서 가장 뒤까지, 모두 6개의 칸이 있다. 따라서 100원짜리 5개와 500원짜리 1개를 이용해서 물건을 사는 방법의 수는 모두 6가지이다.
자. 이제 돈을 많이 모아서 100만원짜리 우유를 산다고 하자. 그걸 100원짜리 n개와 500원짜리 m개로 낸다고 하자. 그럼 도대체 몇가지나 있을까?
글이 길어져서 다음 글에서 계속...
"순열"이라는 건 영어로는 Permutation인데, 고등학교때 다들 배웠다. 순열, 조합, 확률, 그런데서 나오는 바로 그 순열이다. 말은 거창하고 문제는 어려워 보이지만 사실 그냥 물건 여러개 갖다 놓고 늘어놓는 방법의 수를 세는 방법에 관한 이야기이다.
서로 다른 물건이 1개 있다. 1개 있는 주제에 "서로 다르다"라고 말하는 것 자체가 사치이고 낭비인 것은 알지만, 앞으로 1 대신에 임의의 자연수 n을 쓸 수도 있기 때문에 일단 이렇게 말해 보자. 그럼 1개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는? 고민하지 말자. 답은 1가지이다.
서로 다른 물건이 0개 있다. 그럼 0개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는?
뭐 어쩌라고. 이렇게 말하는 사람이 있겠지만, 물건이 0개 있다면 늘어놓지 않는 수밖에 없으므로 답은 1가지이다.
사실 이런거 계산하는건 굉장히 쉽다. 그냥 물건이 n개 있다고 하면, n개 다 늘어놓는 방법은 n-1개 늘어놓은 상태에서, 그 사이사이에 나머지 하나 끼워넣는 것과 마찬가지이다. n-1개를 늘어놓는 방법도 마찬가지다. 따라서 n개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는 n부터 1까지 정수를 모두 곱한 값이다. 이렇게 계산하는 건 굉장히 흥미롭고, 특별하기 때문에 수학자들은 여기에 계승(factorial)이라는 말을 붙여주었다. 함수 기호도 있는데, !(느낌표)을 쓴다. 가령 6!이라고 썼다면 이것을 읽을 때 "육!!!!!!"이라고 읽으면 부끄러운줄 알아야지.1
아무튼, 만약 물건들이 구별이 안가면? 가령 100원짜리 동전 100개를 늘어놓는데, 그 동전들이 다 같은 해에 만들어진 동전이라고 하자. 손때도 안묻었다. 이걸 늘어놓는 방법의 수는? 1가지뿐이다. 수학자들은 구별이 가지 않는건 굳이 구별하지 않기로 했는데, 100원짜리들을 서로 구별할 수 없기 때문에 어떤 놈을 먼저 꺼내다가 늘어놓더라도 뭘 먼저 꺼낸 건지 알 수가 없으므로 1가지라고 한다.
구별 가능하다면 100!이라는 엄청나게 많은 방법으로 늘어놓을 수 있는데2 구별이 안되면 왜 한가지 뿐인가. 그것은 구별 가능하지 않은 경우의 수도 엄청나게 많기 때문이다. 100!가지 방법으로 늘어놓아봐야 100!가지 경우의 수를 모두 구별할 수 없기 때문에, 100!/100! = 1가지 방법만 남는다. 내가 방금 설명하면서 아무 생각 없이 나눗셈을 사용하였는데, 그래도 되는지 궁금할 것이다.
생각해 보자. 1000원짜리 우유를 사는데, 100원짜리 5개와 500원짜리 1개로 산다. 동전을 한개씩 가게 아줌마한테 주는데 그럼 과연 어떤 방법으로 줄 수 있을까? 물론 겨우 동전 6개를 하나씩 세면서 준다면 아줌마가 당신을 혼내주겠지만, 이제 그런것에 연연할 나이는 지났지 않은가. 물론 그렇다고 실험해 보라는 뜻은 아니므로 실험하다가 수퍼마켓 아줌마가 당신을 때리더라도 내 책임은 없다. 여기까지 읽는 사이에 계산 끝났는가? 100원짜리를 어떻게든 늘어놓고나서, 그 사이사이중에서 1칸에 500원짜리를 끼워넣는 방법의 수를 생각해 보면 된다. 그럼, 100원짜리 5개를 늘어놓는건, 역시 구별이 안되니까 한가지 방법밖에는 없다. 500원짜리 1개는 아무데나 끼워넣어도 되는데, 가장 앞에서 가장 뒤까지, 모두 6개의 칸이 있다. 따라서 100원짜리 5개와 500원짜리 1개를 이용해서 물건을 사는 방법의 수는 모두 6가지이다.
자. 이제 돈을 많이 모아서 100만원짜리 우유를 산다고 하자. 그걸 100원짜리 n개와 500원짜리 m개로 낸다고 하자. 그럼 도대체 몇가지나 있을까?
글이 길어져서 다음 글에서 계속...
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