A4 대칭성이 뭔지 알려면 일단 순열 대칭군부터 배워봐야 한다.

"순열"이라는 건 영어로는 Permutation인데, 고등학교때 다들 배웠다. 순열, 조합, 확률, 그런데서 나오는 바로 그 순열이다. 말은 거창하고 문제는 어려워 보이지만 사실 그냥 물건 여러개 갖다 놓고 늘어놓는 방법의 수를 세는 방법에 관한 이야기이다.

서로 다른 물건이 1개 있다. 1개 있는 주제에 "서로 다르다"라고 말하는 것 자체가 사치이고 낭비인 것은 알지만, 앞으로 1 대신에 임의의 자연수 n을 쓸 수도 있기 때문에 일단 이렇게 말해 보자. 그럼 1개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는? 고민하지 말자. 답은 1가지이다.

서로 다른 물건이 0개 있다. 그럼 0개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는? 
뭐 어쩌라고. 이렇게 말하는 사람이 있겠지만, 물건이 0개 있다면 늘어놓지 않는 수밖에 없으므로 답은 1가지이다.

사실 이런거 계산하는건 굉장히 쉽다. 그냥 물건이 n개 있다고 하면, n개 다 늘어놓는 방법은 n-1개 늘어놓은 상태에서, 그 사이사이에 나머지 하나 끼워넣는 것과 마찬가지이다. n-1개를 늘어놓는 방법도 마찬가지다. 따라서 n개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는 n부터 1까지 정수를 모두 곱한 값이다. 이렇게 계산하는 건 굉장히 흥미롭고, 특별하기 때문에 수학자들은 여기에 계승(factorial)이라는 말을 붙여주었다. 함수 기호도 있는데, !(느낌표)을 쓴다. 가령 6!이라고 썼다면 이것을 읽을 때 "육!!!!!!"이라고 읽으면 부끄러운줄 알아야지.[각주:1]

아무튼, 만약 물건들이 구별이 안가면? 가령 100원짜리 동전 100개를 늘어놓는데, 그 동전들이 다 같은 해에 만들어진 동전이라고 하자. 손때도 안묻었다. 이걸 늘어놓는 방법의 수는? 1가지뿐이다. 수학자들은 구별이 가지 않는건 굳이 구별하지 않기로 했는데, 100원짜리들을 서로 구별할 수 없기 때문에 어떤 놈을 먼저 꺼내다가 늘어놓더라도 뭘 먼저 꺼낸 건지 알 수가 없으므로 1가지라고 한다.

구별 가능하다면 100!이라는 엄청나게 많은 방법으로 늘어놓을 수 있는데[각주:2] 구별이 안되면 왜 한가지 뿐인가. 그것은 구별 가능하지 않은 경우의 수도 엄청나게 많기 때문이다. 100!가지 방법으로 늘어놓아봐야 100!가지 경우의 수를 모두 구별할 수 없기 때문에, 100!/100! = 1가지 방법만 남는다. 내가 방금 설명하면서 아무 생각 없이 나눗셈을 사용하였는데, 그래도 되는지 궁금할 것이다.

생각해 보자. 1000원짜리 우유를 사는데, 100원짜리 5개와 500원짜리 1개로 산다. 동전을 한개씩 가게 아줌마한테 주는데 그럼 과연 어떤 방법으로 줄 수 있을까? 물론 겨우 동전 6개를 하나씩 세면서 준다면 아줌마가 당신을 혼내주겠지만, 이제 그런것에 연연할 나이는 지났지 않은가. 물론 그렇다고 실험해 보라는 뜻은 아니므로 실험하다가 수퍼마켓 아줌마가 당신을 때리더라도 내 책임은 없다. 여기까지 읽는 사이에 계산 끝났는가? 100원짜리를 어떻게든 늘어놓고나서, 그 사이사이중에서 1칸에 500원짜리를 끼워넣는 방법의 수를 생각해 보면 된다. 그럼, 100원짜리 5개를 늘어놓는건, 역시 구별이 안되니까 한가지 방법밖에는 없다. 500원짜리 1개는 아무데나 끼워넣어도 되는데, 가장 앞에서 가장 뒤까지, 모두 6개의 칸이 있다. 따라서 100원짜리 5개와 500원짜리 1개를 이용해서 물건을 사는 방법의 수는 모두 6가지이다.

자. 이제 돈을 많이 모아서 100만원짜리 우유를 산다고 하자. 그걸 100원짜리 n개와 500원짜리 m개로 낸다고 하자. 그럼 도대체 몇가지나 있을까?

글이 길어져서 다음 글에서 계속...
  1. 내가 그랬었다. [본문으로]
  2. 100!은 엄청나게 큰 수이다. 직접 계산해 볼 수 있으면 도전해 보시라. 이걸 계산하기 위해서는 1부터 100까지 곱해야 하는데, 보통 2자리수 곱셈은 한번 할 때마다 자리수가 1개씩 늘어나고, n자리 수에 2자리 수를 곱할 때는 덧셈을 n번 해야 하니까, 대략 곱셈 5000번에 덧셈 5천번 정도 해야 할 것이다. [본문으로]
by snowall 2010.04.28 00:48
  • 애드민 2010.04.28 01:42 ADDR EDIT/DEL REPLY

    100n + 500m = 10^6 => n = 5m -10^4 (n>=0)
    이라는 조건이 되겠네요.
    http://www.google.co.kr/search?q=100!
    으로 찾아보니 약 10의 157승이나 되네요.

    • snowall 2010.04.28 02:01 신고 EDIT/DEL

      스털링 공식 쓰면 대강 계산해 볼 수는 있습니다.

  • 2010.04.28 02:42 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.04.28 09:43 신고 EDIT/DEL

      3과 8이 어떻게 나온 숫자인지 모르겠어요;;;

  • 2010.04.28 10:57 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.04.28 11:22 신고 EDIT/DEL

      네. 맞아요 ㅋㅋ
      앞으로도 댓글 많이 달아주세요. 제발. -_-;

  • Ens 2010.04.28 21:17 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    100! =
    9332621544394415268169923885626670049071596
    8264381621468592963895217599993229915608941
    4639761565182862536979208272237582511852109
    16864000000000000000000000000

    제 전문 분야가 나와서 急 흥분 중.

    • 탠저린양 2010.04.28 23:43 신고 EDIT/DEL

      와 'ㅁ' 전문분야가 뭐길래용 'ㅁ'
      초면에 죄송하지만 3^1000과 8^1000도 계산해 주실수있나용?

    • snowall 2010.04.29 00:56 신고 EDIT/DEL

      3의 제곱수들을 구글에서 검색해봤더니
      http://www.google.com/search?hl=ko&q=3^646&lr=&aq=f&aqi=g-m4&aql=&oq=&gs_rfai=

      근데 646제곱까지밖에 안 알려주네요. (그나마도 근사값)

    • Ens 2010.04.29 09:51 신고 EDIT/DEL

      계산하는 것이 전문 분야 아니라.. 위의 내용이 제 전문 분야라는 것이었는데..
      제가 조합수학(Combinatorics)로 박사학위 받았거든요. .
      그리고 계산은 Maple 이라는 수학도구로 가볍게 계산했습니다.

      3^1000 =
      13220708194808066368904552597521443659654220
      32752148167664920368226828597346704899540778
      31385060806196390977769687258235595095458210
      06189118653427252579536740276202251983208038
      78014774228964841274390400117588618041128947
      81562309443806156617305408667449050617812548
      03444055470543970388958174653682549161362208
      30268563778582290228416398307887896918556404
      08489893760937324217184635993869551676501894
      05881090604260896714388641028143503856487471
      65832010614366132173102768902855220001

      8^1000 =
      12302319221611171769315588132767525146407138
      95736833715766118029160058800614672948775360
      06783859345958242964925405180490851288418089
      82368235850824820653483312349593503558450174
      13023320111360666922624728239756880416434478
      31569367501341309075720869037679329665881066
      29418244934884517265053037129160053467479086
      23702673480919353936813105736620402352744776
      90384047788365110032240930198348836380293054
      04824879097634840982539407286851320444088637
      34754271212592471778643949486688511721051561
      97043278074745482377680846418069710308386181
      21843485655227401957966826222055118455120805
      52010310050255801589349645928001133745474220
      71501368341390754277906375983387610135423518
      42450966700421607206294115815023712480084304
      47184842098610320580417992206662247328722122
      08851364368390767036020916265367064113093699
      70021705006755013747239987660058275793007232
      53474890612250135171889174899079911291512399
      773872178519018229989376

    • snowall 2010.04.29 09:56 신고 EDIT/DEL

      Maple이라니, 반갑네요. ^^

      계산 감사합니다