플라스틱 컵에 커피를 마시기 위해서 뜨거운 물을 부었더니 컵에 금이 갔다. 헐.

가만히 놔두면 물이 샌다. 그래서 이걸 해결하기 위해 여기에 테이프를 붙이려고 한다. 테이프를 가장 효과적으로, 실제 사용에 지장이 없게 하려면 매끈하게 붙이는 것이 좋다. 그래서 문제.

수학적으로 잘 정의된 원뿔이 있다. 여기에 수학적으로 잘 정의된 스카치 테이프를 이용해서 한번도 자르지 않고 접히지도 않게 그 표면을 모두, "잘" 뒤덮을 수 있을까? 스카치 테이프의 너비는 일정하지만 임의로 정할 수 있다. 그리고 스카치 테이프는 늘어나지 않고 쪼그라들지도 않는다. 길이는 무한히 길어질 수 있다고 하자.

이 문제를 풀 수 있다면, 이제, 어떤 임의의 표면을 스카치 테이프로 모두 뒤덮기 위해서는 어떤 조건이 만족되어야 할까? 잘 덮이는 표면과 덮을 수 없는 표면은 어떻게 구별할 수 있을까?

풀이는 미래의 언젠가. -_-;

위의 문제에 대한 풀이를 "잘" 일반화시키면 일반 상대성이론 문제도 풀 수 있다.

풀이
풀이가 너무 빨리 올라온 것 아니냐는, 뭐 그런 질문이 있을 수 있지만 앞에서 얘기했듯이 "미래의 언젠가"가 꼭 "먼 미래"이어야 한다는 보장은 없다.

일단 이 그림을 보자.
http://www.topianet.co.kr/topia/6/6s/6s2060105.htm (단순 "사실"은 저작권이 없다. 이것은 그냥 단지 원뿔의 전개도일 뿐이다.)

원뿔을 잘 잘라서 펼치면 위와 같은 모양이 된다. 이 전개도에 테이프를 잘 발라 붙인 후, 다시 원뿔로 붙이면 된다. (참 쉽죠?)

생각해보니, 한번도 안자르고 붙이는건 조금 힘드니까, 테이프를 좀 넓다고 가정하자. (문제의 조건은 안 어겼음! ㅋㅋ)

이제 수학 시작. (이하, 어려울 것 같은 단어를 쉽다고 주장하는 저자의 설명에도 불구하고 그게 쉽다는 걸 이해하거나[각주:1] 이해하는 것이 불가능 할 것이라는 선입견을 가진 사람들은 읽지 않아도 아무 상관 없다.)

위와 같이, 전개도를 그릴 수 있는 평면을 "가전면"이라고 한다. 영어로는 "developable surface"이라고 한다. 이 단어를 어떤 사람들은 "지표면 중에서 개발할 수 있는 땅"이라고 해석할 수도 있겠지만 설마 이 글을 읽을 사람들이 그렇게까지 심각하게 영어와 수학을 이해하지 못하는 사람은 아닐 거라고 생각한다.

가전면은 전체적인 곡률이 0인 표면을 얘기한다. 곡률은 "구부러진 정도"를 말해주는 수인데, 아니 원뿔이 어디가 평평해? 밑면? 이렇게 물어볼 사람 분명히 있을 것이다. 맞다. 사실 원뿔의 빗면은 구부러진 표면이다. 하지만 수학적 의미의 곡률은 0이라는 것이다.

수학적 의미의 곡률을 제대로 설명하려면 미분기하학을 처음부터 끝까지 다 다뤄야 하는데, 사실 그건 아직 나도 제대로 이해 못한 부분이기 때문에 그냥 넘어가자. 어쨌든, 평면에 쫙 펼칠수 있으니까 곡률이 0이라는 건 그럭저럭 이해할 수 있다. 만약 곡률이 0이 아니라면, 그 표면은 평면에 찢지 않거나 접히지 않게 펼칠 수 없다. 어떻게 해도 접히고 어떻게 해도 찢어진다. (수학은 이런걸 증명하는 학문이다. 놀랍지 않은가?)

가령, 지구본의 지도를 평면에 어떻게 하더라도 제대로 옮겨서 그릴 수 없다는 것은 유명한 사실이다. 지도 제작자들의 딜레마라고 하는데, 지구본에서 두개의 직선이 있을 때, 이 두 직선이 이루고 있는 각을 유지하면서, 동시에 지구본의 특정 영역의 넓이를 그대로 유지하는, 그런 지도는 존재하지 않는다. (이런것도 증명할 수 있다.)

물론 지구본의 아주 작은 영역에 한해서는 그럭저럭 원하는 만큼 작은 오차를 갖고 그렇게 그릴 수 있지만 지구 전체에 대해서는 불가능하다는 점이다. 이때, "원하는 만큼 작은 오차"라는 개념으로부터 "미분"이 나오고, 지구는 둥글기 때문에 기하학이 나온다. 따라서 이런걸 연구하는 학문 분야가 바로 미분기하학(Differential geometry)이다.

그런데 사실 지구가 둥글다는 것은 인공위성을 보면 알 수 있는 것이긴 한데, 도대체 지구에서는 그걸 어떻게 알아낼 수 있을까? 뭐, 가장 쉽게 알아낼 수 있는 방법은 에라토스테네스의 방법이긴 하다. 동네마다 태양의 남중고도가 다르거나, 동네마다 북극성의 고도가 다르다거나 등등. 아니면, 반지름이 1000km인 원의 면적을 재 봐도 된다. 지구가 평평하다면 1000000$\pi$km${}^2$이 나오겠지만, 지구가 평평하지 않다면 이 값보다 크거나 작은 값이 나올 수도 있다.

뭐...짧게 요약하자면, 이런 얘기를 대충 한 다음에, 질량이 공간을 구부러트린다는 가정 하나만 넣으면 이제 미분기하학이 일반 상대성이론으로 탈바꿈한다. (물론 장 방정식을 유도하기 위해서는 최소 작용의 원리도 필요하지만 이 글은 아무튼 수학 관련 글이므로 더이상의 자세한 설명은 생략한다.)

자. 아무튼, 테이프 붙이기에서도 수학적인 무언가를 찾아볼 수 있지 않은가.

어떤 모양의 컵이 테이프로 잘 발라줄 수 없을지 고민해 보자.
  1. 그 단어의 개념을 이해하는 것 말고, 그 단어의 개념이 쉽다는 것을 이해하는 것 말이다. [본문으로]
by snowall 2010.04.28 16:29
  • 탠저린양 2010.04.28 17:31 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    -ㅂ- 풀어볼깡? 하다가 태그를 보고 급 포기했습니당.

    그래도 고민은 해볼꺼에요 '-' ㅋㅋ....

    • snowall 2010.04.28 17:35 신고 EDIT/DEL

      아, 이 문제는 쉬워요
      물론 수학적으로 정식화 해서 제대로 증명하려면 살짝 복잡해 지지만, 본질적으로는 쉽습니다.

      정말 쉬워요 -_-;

  • emanoN 2010.04.28 18:14 ADDR EDIT/DEL REPLY

    일단 태그는 무시하고-_-;;

    그 컵, 스카치테이프로는 좀 힘들 것 같은데.
    본드나 실리콘 추천, 아니면 박스테입 같은 넓은 테이프로 -_-;
    아니 그보다, 플라스틱 컵이면 그냥 예쁜 걸로 하나 새로 사.
    그리고 그거 언제 깨진거야. ㅋㅋㅋ

    곡률하고 상대성이론은 잘 모르겠다만 미분하고 관련된 거보면 스카치테이프의 폭을 어떻게 하느냐가 중요한건가?

    (나 여기다 답글 달아도 되지? =ㅁ=;; 삐질삐질;;)

    • snowall 2010.04.28 18:17 신고 EDIT/DEL

      답글 다는건 언제든지 가능하죠. 언제든지 환영합니다. ^^

      에...펼쳐보면 됩니다. (정답임.)

    • snowall 2010.04.28 18:47 신고 EDIT/DEL

      아, 어차피 버릴거라...ㅡㅡ;

    • emanoN 2010.04.28 22:37 EDIT/DEL

      실수, 답글이 아니라 댓글 -_-;;;
      그리고 땡큐. ㅎㅎㅎ

  • Aptunus 2010.04.28 20:49 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    순간 비유클리드기하학을 떠올려 버렸네요 ㅎㅎ

  • goldenbug 2010.04.28 21:13 ADDR EDIT/DEL REPLY

    제가 문제를 잘 이해하지 못한 것인지.....
    아무래도 뭔가 자꾸 생각이 꼬이네요. ㅜㅜ

  • 애드민 2010.04.28 23:29 ADDR EDIT/DEL REPLY

    일단 옆면의 경우는 원뿔의 꼭지점에서 원모양의 밑면 바깥 부분까지 최단 거리(즉 원뿔을 수직 단면으로 잘랐을 때 나오는 이등변 삼각형의 빗변 거리)가 스카치테이프의 폭의 정수배가 되어야 할 것 같네요. 스카치테이프의 폭이 작고 길이가 매우 길다고 가정하면 그냥 계속 감싸버리면서 내려가면 되는데, 폭이 너무 크고 원뿔 바깥으로 삐져나오는 걸 허락하지 않는다고 하면 자르지 않고서야 어려울 것 같네요.

    • snowall 2010.04.29 00:51 신고 EDIT/DEL


      그래서 저는 빠져나갈 구석을 만들어 두었더군요...;;
      문제를 다시 읽어보니 테이프의 너비에 제한을 두지 않아버렸었네요...

  • 2010.04.28 23:39 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.04.29 00:52 신고 EDIT/DEL

      미분 불가능한 곡면은 많죠. 당장, 연습장 한장 찢어서 반으로 접었을 때 만들어지는 곡면은 그 경계선을 따라서는 미분이 안됩니다. 뭐, "모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 한번도 미분이 안되는" 정도로 심하게 구겨진 곡면도 상상할 수는 있습니다. 거기서 무슨놈의 기하학을 찾아야 하는지는 아직 상상이 안되지만...
      (직선도 못 긋잖아요...;;)

  • 2010.04.28 23:55 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.04.29 00:53 신고 EDIT/DEL

      수학적으로는 가능합니다. -_-; 극한으로 보내면 되지요.

  • 2010.04.29 00:01 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.04.29 00:53 신고 EDIT/DEL

      테이프 너비를 0에 수렴시키는 방법도 있었군요. 하지만, 실제로는 만들 수 없는 테이프라서...;;;;

  • 2010.04.29 01:00 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.04.29 01:06 신고 EDIT/DEL

      테이프 폭을 0으로 줄여버리는건 저도 생각 못했습니다.
      사실 정답이기도 하죠 -_-

      제 해설은, 일단 펼친 다음, 거기에 "적당히 넓은" 테이프로 한방에 붙여버린 후 남는 부분을 쳐내고 다시 원뿔로 조립하면 된다는 것입니다.

      컵에 적용하고 싶으면, 컵을 펼칠수는 없지만, 어쨌든 "잘" 하면 구겨짐 없이 테이프를 붙일 수는 있다는 것을 증명할 수는 있습니다. -_-;

  • 탠저린양 2010.04.29 17:22 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    근데 플라스틱컵에 뜨거운물 붓지 마세요 'ㅁ'

    • snowall 2010.04.29 18:08 신고 EDIT/DEL

      뭐...환경호르몬 쯤은, 이제 겁나지 않아요. 이 실험실에선 더 독한 것들과도 싸우니까요 -_-;;

  • 탠저린양 2010.04.29 18:29 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    ;ㅁ; 그러니 사소한거라도 신경써요 ㅠㅠ 겁이 안난다고 안 위험한건 아니잖아영 ㅠㅠ

    • snowall 2010.04.29 18:31 신고 EDIT/DEL


      조심할게요 ^^

      걱정해줘서 고마워요~

  • Ens 2010.04.29 22:31 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    핵심은 원뿔의 곡률은 0이다.