임의의 두 자연수 n과 m이 있다. n>m이라고 할 때, n!/m!은 항상 자연수인가? (네!)

그렇다면, (n+m)!/(n! m!) 은 항상 자연수인가?

by snowall 2010.04.30 21:44
  • 2010.05.01 03:34 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2010.05.01 09:48 신고 EDIT/DEL

      검토는 나중에 해볼게요~
      지금은 바빠서;;

      일단, 위의 명제는 이항정리에 의해 참입니다. 그거 안쓰고 증명하는 방법을 생각해 보고 싶었어요

  • dbskzh 2010.05.01 23:39 ADDR EDIT/DEL REPLY

    당연히 자연수...라고 주장하는 한때(askhow가 활성화 되있었을 때) 수학 특기생의 위엄.....

    • snowall 2010.05.02 00:49 신고 EDIT/DEL

      당연하긴 한데, 왜 당연할까요 ㅋㅋ

    • dbskzh 2010.05.02 01:08 EDIT/DEL

      m(m-1)(m-2)...(n+1)이 n!의 배수임을 증명합니다.

      각각의 약/배수 관계를 찾기에는 어렵지만, 소인수분해 해버리면 되죠.

      n, (n-1), ... 1 중 임의의 소수 p에 대해 p의 배수가 p, 2p, ... , kp로 모두 k개 있을 때,

      각각 p로 최대 a1, a2, a3, ..., ak번 나눌 수 있다고 합시다.

      n!의 약수인 p의 거듭제곱중 가장 큰 값은 p^(a1+...+ak)가 됩니다.

      여기서 머리를 살짝 굴리며는, m(m-1)...(n+1)중에는 p^a1, p^a2, p^a3, ... , p^ak의 배수가 하나씩 있음을 증명하면 됩니다.

      이건 a1, a2, ... , ak 중 1인 것이 b1개, 2인 것이 b2개, ... , t인 것이 bt개 있다고 놓고 비둘기집의 원리로 풀어버리면 되겠죠.//.

      비둘기집의 원리에 의해 m, (m-1), ... , (n+1)중에는 분명 p^at의 배수가 bt개 이상 존재합니다.

      또, 마찬가지 이유에서 그 중에는 p^(a(t-1)+at)의 배수가 (bt+b(t-1))개 이상 존재합니다.

      이쯤에서 끝내려면 끝내고, 좀 더 엄밀해지려면 수학적 귀납법으로 피니쉬하면 됩니다. Q.E.D.




      역시...지난 3년이 헛된 세월은 아니었군요..ㅋㅋㅋ

  • goldenbug 2010.05.02 00:41 ADDR EDIT/DEL REPLY

    감각에 의하면 검토해볼 필요도 없이 참입니다. 그런데 수식으로 증명하자면 역시 쉽지 않은 면이 있네요. ^^;;;

    전 요즘 텍스트큐브의 공지 때문에 머리가 아파옵니다. 쩝~
    이사를 해야 하는 건지... 아니면 그대로 블로거닷컴으로 일단 옮기고서 다른 방법을 찾아야 하는 건지...
    그것도 아니면 외국의 다른 서비스를 찾아야 하는 것인지..... 힘드네요.

    이제 곧 훈련소에 들어가시게 되겠네요. 잘 다녀오세요. ^^

    • snowall 2010.05.02 00:49 신고 EDIT/DEL

      백업부터 하세요

    • goldenbug 2010.05.02 02:26 신고 EDIT/DEL

      백업은 이미 다 했습니다. 예전 티스토리 것까지 해서 총 4시간 정도 걸렸네요. ^^;
      백업파일 분할 푸로그램 만드시는 건 어떻게 되셨는지요???

    • snowall 2010.05.02 02:32 신고 EDIT/DEL

      그건 먼 미래에...
      인류가 외계인과 만날 때쯤 개발될거예요.

      일단 저 살기도 바빠서요 --;

  • 세레 2010.05.02 12:10 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    딱 직관적으로는 모르겠는데 사실이라는 점에서 신기하네요,

    • snowall 2010.05.02 17:14 신고 EDIT/DEL

      신기해서 저도 적어봤습니다 ㅋㅋ

  • 우왕 2010.05.03 13:02 ADDR EDIT/DEL REPLY

    (n+m)!/n!m!이 n+m개중에서 n개를 뽑는 경우의 수잖아요.. 그니까 자연수 입니다.

    글들 보고 존경합니다.우왕

    • snowall 2010.05.03 13:12 신고 EDIT/DEL

      물론 그렇긴 하지만...음...과연 그렇기 때문일까요...