탄성계수

에너지에 관한 글을 쓰다 보니 탄성계수에 관한 설명을 해야 할 것 같다.

탄성계수는 물체가 변형에 반응하는 정도를 나타내는 수이다. - 원래는 텐서다.

텐서는 또 뭐냐고 물으신다면, 그저 웃지요. 헐.

복잡한 세상을 이해하는 건 어려운 일이다. 물리학 하는 사람들도 그건 예외가 아니기 때문에, 최대한 쉬운 문제만 풀기 위해서 복잡한 문제를 쉽게 만드는 기술을 익혔다.

위치 에너지와 힘의 관계에서, 힘은 위치 에너지를 미분하면 얻을 수 있다. 그런데 실제 위치에너지는 매우 복잡하고, 따라서 여기서부터 얻어 지는 실제 힘은 역시 매우 복잡하다. 그래서 급수 전개를 쓴다.

$U(x) = a +bx + cx^2 + dx^3 ...$

물론, 이걸 미분하여 음수를 취하면 힘이니까

$F(x) = -b - 2cx - 3dx^2 ... $

여기서 물리학자들은 2차 항 이후로는 다 필요 없다고 가정하고 버린다. 그 이유는, 우리가 관심있는 문제는 안정적인 어떤 지점에서 아주 조금 벗어난 경우에 대한 문제이고, 안정적인 지점을 0이라고 한다면, 거기서 아주 조금 벗어난 지점 x에 대해서 급수 전개를 하면, 그 x를 여러번 곱할수록 그 영향력이 작아지기 때문이다.

그래서

$F(x) = -b - 2cx $
이렇게 쓰자.

상수로 일정하게 작용하는 힘은, 문제를 풀려고 하는 계 전체를 계속해서 가속하기 때문에 사실 문제를 푸는데 별 도움이 안된다. 그런 힘은 그냥 시간이 얼마나 지났는지 계산한 후, 등가속도 운동 공식 3종세트를 사용해서 변위와 속도를 간단히 알아낼 수 있기 때문이다.

우리가 관심있는건 그 다음이다. 2c 대신에 k를 쓰자.

$F(x) = -kx$

여기서 k를 탄성 계수라고 부른다. 뭔가 이래놓고 보니 뜬금없이 넘어갔다는 느낌이 든다.

어쨌든간에 이건 1차 방정식이기 때문에 풀기 쉬울 거라고 생각하는데, 우리에겐 $F=ma$가 있으니까,
$ma+kx=0$
이렇게 된다. 그리고 이 방정식은 아주 유명한 2차 상미분 방정식이다.

이것들은 교과서에 나오는 얘기들인데, 이제 탄성계수가 뭔지에 대해 조금 더 생각해 보자. 탄성(Elasticity)이란 어떤 특성이다. 이 특성은, 어떤 물체가 외부 힘에 반응하는 특성이다. 만약 아무 반응도 하지 않는다면, 이놈은 우리가 풀 수 있는 문제의 범주에 들어가지 않는다. (다시 말해서, 우린 그것에 대해 아무것도 알 수 없다는 뜻이다.) 특히, 이 특성은 외부 힘이 어느정도 한계를 넘어가지 않으면, 원래 있던 자리로 되돌아가는 성질이 있다. 외부에서 주는 힘이 강하면 강할수록 더 커져야 한다. 탄성력은 이런식으로 작용하는 힘이고, 탄성계수는 이 힘이 얼마나 크게 작용하는지를 알려주는 수이다.^[각주:1]

탄성력은 원래 있던 자리로 되돌아가려는 힘이기 때문에, 힘과 정확히 반대 방향으로 작용한다. 하지만, 어떤 이상한 물질의 경우 작용한 힘에 대해서 다른 방향의 힘이 발생하기도 한다. 그런 경우에는 그걸 스트레스라고 한다. (응력이라고도 한다.)
이런식으로 작용하는 경우, 탄성계수는 숫자 하나로 표현되지 않게 된다. 이럴 때에는 행렬로 표시되는데, 그 행렬을 스트레스 텐서라고 한다.

1. F=ma에서 m을 가속도 계수라고 불러도 된다. 하지만 많은 사람들은 거기에 질량(mass)이라는 이름을 붙여두었다. [본문으로]