대칭성에 관한 논의.

대칭성은 실 생활에 깊이 연관되어 있다. 그럼, 무엇을 대칭성이라고 부르는지 살펴 보자.

일단, 대칭성을 이야기 하려면 우리는 함수를 하나 정의해야 한다. 적당한 변수를 사용한다면, "공급"과 "산출"이라고 해 보자. 그럼, 다음과 같은 식이 나올 것이다.
산출=산출(공급)

만약, 공급이 한 종류가 아니라면 다변수 함수로 적으면 된다.
산출=산출(공급1, 공급2, ...)

이렇게 되었으면, 대칭성을 찾아보자. 대칭성은 뭐냐고? 대칭성은 공급들을 적당히 바꿨는데 산출값이 변하지 않는 것을 말한다. 이것은 아주 중요한 의미를 가지므로 새겨두자.

실제로, y=x*x 라는 함수를 살펴보자. 이 함수는 x를 -x로 바꾸어도 y가 변하지 않는다. 따라서 이 함수는 "x를 -x로 바꾸는 작용"에 대해서 불변이다. 이러한 형태의 대칭성을 "패리티parity"라고 한다. 일명, "거울 대칭성"이라고도 부른다. 가령 y=x+1이라는 함수는 x를 -x로 바꾸면 문제가 발생하게 된다. 이것을 우리는 대칭성이 깨져있다고 한다.

사회 관계에서도 대칭성은 나타나게 되는데, 이 사람이 할 수 있는 업무를 누구라도 할 수 있으면 이 업무는 "사람"에 대해서 대칭성이 있게 된다. 하지만 이 사람의 업무는 오직 이 사람만이 할 수 있는 것이라면 이것은 대칭성이 깨져있는 것이다. 예를들어서, "대통령은 누구나 할 수 있지만 아무나 할 수는 없다"는 말의 의미에 어떤 대칭성이 있는지 보자. 대통령을 다른 사람이 한다고 해서 대통령이 대통령이 아니게 되지는 않는다. 의미상 차이는 없다. 하지만 대통령을 누가 하느냐에 따라서 나라의 국운이 결정되는 법이다. 그러므로 결과에 대칭성은 완전히 깨져버린다.

대칭성을 갖고 있으면, 재미난 것들을 여러가지로 해볼 수 있다. 예를들어, 물이 끓기 위해서는 적어도 한번의 기포 발생이 있어야 한다. 냄비에 물을 채워서 끓이게 되는 경우, 최초에 끓기 시작하는 부분은 냄비에 있는 미세한 요철 사이에 있는 작은 기포가 부풀어 오르면서 생긴다. 만약 이런 작은 기포조차 없이 매끈한 냄비라면, 이 안에는 끓음의 씨앗이 사라져서 결국 "과가열"상태가 된다. 이 상태는 끓는점을 넘었으나 끓지 않고 있는 상태로, 만약 약간의 충격이 주어진다면 단숨에 끓어오르는 상태이다. 이러한 일은 물이 얼어붙을 때도 일어난다. 과냉각 상태에서는 어는점보다 낮은 상태에서 얼지 않고 유지되는 것이다. 그러나 어느 순간 충격이 주어지면 단숨에 얼어버리게 된다.

한가지 재미난 사실이 있는데, 우주의 구성에 있어서도 대칭성은 굉장히 중요한 역할을 했다는 점이다. 옛날옛적에, 우주가 처음 만들어질 당시에 우주는 아주아주 작았다. 얼마나 작았냐면, 당신의 몸 안에 있는 세포를 구성하는 원자의 구성요소인 원자핵을 이루고 있는 양성자보다 십억분의 1배 정도로 작았다. 그런데 이게 탄생 직후에, 아주 짧은 순간, 가령 당신이 눈을 감았다 뜨는 시간보다 십억분의 십억분의 십억분의 십억분의 1초 정도 되는 시간 사이에, 수십억 광년 크기로 커진 것이다. 응? 빛의 속력보다 빠른거 아니냐고? 물론 빛의 속력보다 훨씬 빠르다. 하지만, 이 과정은 시공간 자체가 늘어나는 것이지 정보가 전달되는 과정이 아니기 때문에 상대성 이론과 문제를 일으키지 않는다. 이때, 작은 우주에서 완벽한 대칭성이 존재했다면 이 우주에는 아무것도 없었을 것이다. 왜냐하면, 모든 곳이 다 똑같아서 어디가 별이 될 부분인지 어디가 은하가 될 부분인지 아무도 몰랐을 것이기 때문이다.

by snowall 2007.02.04 23:29
  • Dreaming~ZZZ 2007.03.18 08:28 ADDR EDIT/DEL REPLY

    대칭성, 자연계에서 가장 경이로운 모습이 대칭성인 것 같습니다. 저도 이 대칭성을 공부하는데 지나가다 읽어보니 재밌네요. 게이지 이론도 재밌고요. 제 블로그도 한번 방문해주세요. 혹시 관심 있을지도 모르니까요. 많은 사람들이 물리학과 수학을 공부하여 소통이 활발해지는 날이 오기를 기대합니다. 블로그는 http://blog.daum.net/about_math 입니다. 그럼 글 잘 읽었네요.

    • snowall 2007.03.18 11:14 신고 EDIT/DEL

      감사합니다.^^
      아직 공부가 부족하여 게이지 이론은 재미만 있어요...ㅜ_ㅜ