정의역, 치역

이런 명제를 생각해 보자. 선형대수학 분야이다.

L:V->W 일때,
dim(im(L)) == Rank of L

이건 참인가?
여기서 dim(A)는 A의 차원이고, im(A)는 A의 이미지 공간(치역)이다.

V가 5차원이고, L의 rank가 5이고 W가 5차원이면 위의 명제가 참이 되는 사례중의 하나이다.
V가 3차원이고, L의 rank가 5이고, W가 5차원이면, 위의 명제가 거짓이 된다. dim(im(L)=3이고 Rank of L=5이다.
V가 5차원이고, L의 rank가 3이고, W가 5차원이면, 위의 명제가 참이 된다. dim(im(L))=3이고 Rank of L=3이다.

L의 Rank라는 개념을 어떻게 이해해야하나?

Rank는 L이라는 연산자가 갖고 있는 행공간, 또는 열공간의 차원이다. 만약 행렬을 행벡터나 열벡터로 분해해서 본다면, 어떤 벡터 공간에 연산자를 적용한다는 것은 행렬의 행벡터와 내적을 취해서 그 각각의 값을 새로운 공간의 성분으로 본다는 뜻이다. 따라서, 연산자의 적용은 주어진 벡터 공간의 벡터를 행벡터가 표현하는 공간으로 사영시킨다는 것으로 생각해도 무방하다. 공역은 단지 연산자에 적용된 후 실제로 사용하기 위해 벡터를 표현하기 위해 마련된 공간이다.

그럼, 위의 명제가 참이 되기 위해서 어떤 조건이 필요한가?
우선 dim(V)=n, dim(W)=m, Rank(L)=k라고 하자.

im(L)이 어떻게 될지 생각해 보면, 일단 dim(im(L))<=m이다. 치역이 공역보다 더 클 수는 없기 때문이다.(치역은 공역의 부분집합이다.)
둘째로, dim(im(L))<=n이다. 치역이 정의역보다 더 큰 차원을 가질 수 없다. 왜냐하면, 정의역의 기저가 연산자에 의해서 치역에서도 기저가 되는데, 차원은 기저 집합의 원소의 수이기 때문이다.
셋째로, dim(im(L))<=k이다. 앞에서 언급했듯이, 연산자를 적용한다는 것은 연산자의 행공간에 벡터를 사영시킨다는 뜻이기 때문에, 행공간이 표현할 수 있는 차원이 치역의 한계이다.

이게 항상 참이 되려면...
일단 n=m=k이면 충분하다. (증명은 생략.)

이보다 좀 더 느슨한 조건을 찾아보자
n<m, m=k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 n차원이고 n<k이므로 조건을 맞출 수 없다.
n>m, m=k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 k차원이므로 조건을 맞출 수 있다.

n=m, n<k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 n차원이고 n<k이므로 조건을 맞출 수 없다.
n=m, n>k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 k차원이므로 조건을 맞출 수 있다.

n=k, m<k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 m차원이고, m<k이므로 조건을 맞출 수 없다.
n=k, m>k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 k차원이므로 조건을 맞출 수 있다.

n<k<m이거나 n<m<k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 n차원이고 n<k이므로 조건을 맞출 수 없다.
k<n<m이거나 k<m<n이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 k차원이므로 조건을 맞출 수 있다.
m<k<n이거나 m<n<k이라고 해 보자. 그럼 L의 치역은 m차원이고 m<k이므로 조건을 맞출 수 없다.

이런 경우들을 조합하면, 조건을 맞추려면 n, m, k중에서 k=Rank(L)가 가장 작기만 하면 항상 조건을 맞출 수 있다.