로피탈 정리

http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC
위키백과의 로피탈 정리 부분을 참조하자.

로피탈의 정리는 도함수의 극한과 원래 함수의 극한을 이어주는 정리이다.

그 내용은 실수값을 갖는 두 함수 f(x)와 g(x)가 x=a에서 f(a)=g(a)=0이라고 할 때, 두 함수를 나누어준 함수인 (f/g)(x)의 x가 a로 수렴하는 경우의 극한이 f와 g의 도함수끼리 나누어 준 f'/g'의 극한과 같다는 정리이다. 엄밀한 내용은 위키 백과를 참조하자.

그런데, W. Rudin의 "Principles of Mathematical analysis, 3rd Edition"을 읽다가, 로피탈 정리의 가정에 학교에서 배운 내용과 다른게 있었다. 가령 f와 g가 x가 a로 수렴할 때 둘 다 무한대로 발산하는 경우인데, 루딘 책의 로피탈 정리의 가정에는 이 경우에 분자인 f는 무한대로 발산해야 한다는 부분에 대한 언급이 없다.

루딘 책은 인터넷에 돌아다니긴 하므로 궁금하면 사서 보거나 찾아보도록 하자.
http://math.stackexchange.com/questions/62916/how-to-show-that-lim-limits-x-to-infty-fx-0-implies-lim-limits-x
위의 글에서 Bill Dubuque 가 댓글 단 부분에 해당 부분을 인용해 두었다.

그래서 루딘 책에 오타가 있나 싶어서 찾아봤는데 그것도 아닌 듯 싶다.
http://math.berkeley.edu/~gbergman/ug.hndts/m104_Rudin_notes.pdf

뭐, 아무튼. 오타가 있으면 교수들이 오타를 이야기 했을 것이고, 검색하면 나오는 법이니 오타는 아닌 것 같다. 사실 오타건 아니건간에 증명을 깊이 이해하고 스스로 맞는지 틀리는지 생각해 보면 되는 문제인데, 아직 수학적으로는 그정도 내공이 쌓여있지 못해서 검색을 사용하였다.

어쨌든 그렇다 치자. 그럼 지금까지 배운 로피탈 정리는 뭔가 틀린 내용이었다는 뜻이다. 물론 0/0형태는 맞는 내용이다. 흥미로운건, 무한대/무한대 내용에서, 증명에 분자가 무한대라는 가정이 들어가지 않는다는 부분이다. 왜 그런지 잘 모르겠지만, 아무튼 책을 다 읽고 나중에 이 부분만 깊이있게 다시 읽어봐야겠다.