http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC
위키백과의 로피탈 정리 부분을 참조하자.

로피탈의 정리는 도함수의 극한과 원래 함수의 극한을 이어주는 정리이다.

그 내용은 실수값을 갖는 두 함수 f(x)와 g(x)가 x=a에서 f(a)=g(a)=0이라고 할 때, 두 함수를 나누어준 함수인 (f/g)(x)의 x가 a로 수렴하는 경우의 극한이 f와 g의 도함수끼리 나누어 준 f'/g'의 극한과 같다는 정리이다. 엄밀한 내용은 위키 백과를 참조하자.

그런데, W. Rudin의 "Principles of Mathematical analysis, 3rd Edition"을 읽다가, 로피탈 정리의 가정에 학교에서 배운 내용과 다른게 있었다. 가령 f와 g가 x가 a로 수렴할 때 둘 다 무한대로 발산하는 경우인데, 루딘 책의 로피탈 정리의 가정에는 이 경우에 분자인 f는 무한대로 발산해야 한다는 부분에 대한 언급이 없다.

루딘 책은 인터넷에 돌아다니긴 하므로 궁금하면 사서 보거나 찾아보도록 하자.
http://math.stackexchange.com/questions/62916/how-to-show-that-lim-limits-x-to-infty-fx-0-implies-lim-limits-x
위의 글에서 Bill Dubuque 가 댓글 단 부분에 해당 부분을 인용해 두었다.

그래서 루딘 책에 오타가 있나 싶어서 찾아봤는데 그것도 아닌 듯 싶다.
http://math.berkeley.edu/~gbergman/ug.hndts/m104_Rudin_notes.pdf

뭐, 아무튼. 오타가 있으면 교수들이 오타를 이야기 했을 것이고, 검색하면 나오는 법이니 오타는 아닌 것 같다. 사실 오타건 아니건간에 증명을 깊이 이해하고 스스로 맞는지 틀리는지 생각해 보면 되는 문제인데, 아직 수학적으로는 그정도 내공이 쌓여있지 못해서 검색을 사용하였다.

어쨌든 그렇다 치자. 그럼 지금까지 배운 로피탈 정리는 뭔가 틀린 내용이었다는 뜻이다. 물론 0/0형태는 맞는 내용이다. 흥미로운건, 무한대/무한대 내용에서, 증명에 분자가 무한대라는 가정이 들어가지 않는다는 부분이다. 왜 그런지 잘 모르겠지만, 아무튼 책을 다 읽고 나중에 이 부분만 깊이있게 다시 읽어봐야겠다.
by snowall 2012. 2. 26. 15:32
  • goldenbug@gmail.com 2012.02.26 19:32 ADDR EDIT/DEL REPLY

    분자와 분모가 모두 0으로 갈 때, 이들 분자와 분모를 분자와 분모의 곱으로 각각 나눠주면 (그러니까 자리를 바꾼 뒤에 역수를 취해주면) 무한대/무한대 형태가 됩니다. 따로 표기해줄 필요가 전혀 없다고 생각되는데요. ^^

    • snowall 2012.02.26 19:37 신고 EDIT/DEL

      각 함수가 0으로 수렴하는 경우와 무한대로 발산하는 경우가 증명이 달라요
      만약 말씀하신대로라면 무한대로 발산한다는 경우는 증명조차 할 필요가 없겠죠.

    • goldenbug@gmail.com 2012.02.26 20:28 EDIT/DEL

      어렸을 때 증명을 읽었던 기억이 있어서 간단하게 생각했는데.... 다시 찾아보려니 갖고 있는 책에는 없네요. 아마도 도서관에서 대출했던 책에서 본 모양이에요. ㅜㅜ
      대1 때 배우는 <미분적분학과 해석기하학>에서는 나머지 경우도 고급해석학에서 증명되어 있다고만 나와있군요. ^^;

  • imlkh84@gmail.com 2012.03.01 16:16 ADDR EDIT/DEL REPLY

    가정에 '분자가 무한대로 간다'가 포함되어 있습니다.

    그래서 굳이 쓰지않았던 거죠

    [ f'/g' conv & g->무한대 => f->무한대 ]
    이 명제가 참이 됩니다.

  • 하루 2012.03.04 14:34 ADDR EDIT/DEL REPLY

    벌써 다 까먹은 내용;;
    빨리 제대하고 열심히 공부해야 겠어요~!!
    (이러면 안되는데;;)

  • 뭥미? 2012.03.07 13:40 ADDR EDIT/DEL REPLY

    분모가 무한대로 가면서 분자가 무한대로 가지 않으면 0으로 수렴하는거죠 -_- 정리고 뭐고 필요없는건데.

    • snowall 2012.03.07 14:50 신고 EDIT/DEL

      저 정리의 내용은 f/g가 f'/g'과 같은 극한이라는 것이고, 0으로 수렴하면 틀리게 됩니다.