임계 현상

캐리비안의 해적 스포일러가 있습니다.

캐리비안의 해적 3편을 보면, 9명의 해적단 두목들이 회의를 하는데, 그들 중 대장을 뽑아야 하는 상황인데 수십년간 대장이 뽑히지 않았다. 그 이유는 누구도 양보하지 않고 자기 자신에게 표를 던졌기 때문이다. 당연히 뽑히지 않는다.

질문은 다음과 같다.

주관적인 기준 이외에 별다른 판정 기준이 없는 상황에서 참여한 사람 전원이 수긍하고, 받아들여야만 하는 대표 선정 방법이 있는가?

그러니까, 9명중 1명만 뽑아야 하는데, 주사위를 던지는 방법 이외에 모두가 동의할만한 공정한 선정 방법이 존재하느냐는 질문이다.

생각해보자. 모두가 자신이 뽑히기를 원하고 다른 사람이 뽑히는 것을 원하지는 않는다. 그러므로, 위의 민주적인 투표 방식에 의해서는 아무도 선출될 수 없다. 저 방법을 약간 변형해서, 누구나 쉽게 생각할 수 있는 방법은 자신에게 투표하는 것을 금지하는 인기투표 방법이다. 이 경우, 9명이 있으면 자기 자신을 제외한 8명중 한명에게 표를 던져야 한다. 하지만 이 경우에도 문제는 있는데, 9명이 모두 같은 숫자의 표를 얻을 가능성이 분명히 존재한다는 것이다. 따라서, 어떤 경우에도 1명만 고를 수 있는 방법이 아니게 된다. 여기에 만약 제 3의 존재가 있다면, 다른 사람들의 의견과 상관 없이 제 3의 존재가 모든 결정권을 갖게 된다고 할 수 있다.
지난번 국회의원 선거 때의 의석수 배분에서 보여졌었는데, 한나라당과 열린우리당이 거의 절반씩 차지해서 어느 한쪽이 우세수를 점하지 못하는 상황에서, 민주노동당이 10석 정도를 점유하여 찬/반의 임계값을 좌지우지 할 수 있는 힘을 갖게 된 적이 있었다. 즉, 모든 구성원이 충분히 이기적이고 논리적이라면, 아주 작은 차이가 전체의 추세를 좌우할 수 있게 되는 일이 벌이지게 된다.

가장 쉬운 예를 들어, 단 두명 중에서 한명을 선발한다고 하자. 양쪽 모두 욕심을 내고 있으며, 어느 한쪽이 양보하는 것은 어렵다. 그러나 둘이 합의하는 공정한 방법에 의해서 한명이 결정된다면 따르기로 하였다. 이 상황에서, 어떤 규칙이 가능할까?

*답이 없다.