반감기의 이해

반감기. Half Life라고 부르는 개념이다.^[각주:1]

반감기는 시간의 단위를 갖고 있는데, 그 의미는 대략 반감기만큼의 시간이 지나면 주어진 방사성 동위원소의 양이 절반으로 줄어든다는 뜻이다.

방사성 동위원소의 양을 지배하는 방정식은 다음과 같다. n을 갯수라고 하면
$-\frac{dn}{dt}=\lambda n$
물론 위의 방정식을 풀면
$n=n_0 e^{-\lambda t}$
가 답이 된다.
여기서 $n_0$는 최초에 존재하던 갯수. $\lambda$는 대략 반감기랑 비슷한 숫자이다.

문제는 방사성 동위원소의 양을 지배하는 방정식이 왜 저렇게 주어지는가이다. 저 방정식을 한국말로 번역하면 "방사성 동위원소가 줄어드는 속력은 현재 남아있는 양에 비례한다"이다. 아니, 왜그럴까? 이놈이고 저놈이고, 원자핵이 있으면 그놈이 조금 있다 붕괴할 확률은 똑같을 텐데 어째서???

자. 이제 그럼 동전을 던져보자. 진짜로 이해하면 된다.
동전 100개를 놓고 한번에 던지는데, 그중 뒷면이 나온 애들은 다 붕괴한 것으로 치고 앞면이 나온 애들만 골라낸다.
어떤 일이 일어날까? 첫번째 시행에서는 대충 50개정도가 살아남을 것이고, 두번째 시행에서는 대충 25개정도가 살아남을 것이다. 물론 진짜 대충이지만 세번째 시행에서는 12개정도가 살아남겠지.

원자핵이 많이 모여있는 방사성 동위원소 덩어리에서는 이런 일이 연속적으로 일어난다. 지금 100개의 원자핵이 살아남은 상태일 때, 1초 후에 살아남을 확률이 절반이라고 하자. 그럼 1초 후에는 그 절반이 사라진다. 이 법칙은 모든 각각의 1초마다 적용된다. 따라서 원자핵들이 붕괴하는 속력은 일정한 속력이 아니라 남아있는 양에 비례하는 것이 된다.

1. Half Life는 내가 좋아하는 게임 이름이기도 한데, 그 게임의 제목은 "반쪽짜리 삶"을 뜻하기도 한다. [본문으로]