질문 :
전자의 이중슬릿간섭실험에서 전자가 어느 쪽 슬릿을 통과하는지 알기 위해 감식기를 설치하면, 더이상 간섭무늬가 나타나지 않는다.
이때, 슬릿의 틈은 폭에비해 매우 작다. 이 현상을 ΔxΔp>h와 λ=h/p를 이용하여 설명하라.

슬릿의 틈이 폭에 비해서 아주 작으면, 틈 방향으로는 위치의 불확정성이 작아지게 된다. 따라서 전자가 가지는 운동량의 불확정성이 커진다. 이 경우, 전자가 가지는 운동량의 불확정성이 파장에 영향을 줘서 파장의 불확정성으로 나타나고, 따라서 간섭무늬가 사라지게 된다.

문제는, "여기서 파장의 불확정성이 어째서 간섭무늬가 사라지는 것과 상관이 있게 되는가?" 이다. 정성적으로는, 여러 종류의 파장이 뒤섞여서 간섭성이 사라지는 것으로 이해할 수 있다. 그래도 잘 이해가 안가면 정량적으로(수식을 이용해서) 이해해 보자.
영의 이중 슬릿 실험과 어차피 공식은 같다. 간섭무늬가 생기는 형태는
$I(\sin(\theta))=I_0 \cos^2 (\frac{2\pi D\sin(\theta)}{2\lambda})=I_0 \cos^2 (\frac{ pD\sin(\theta)}{2\hbar})=I_0 \cos^2 (Ap)=\frac{I_0}{2} (1+\cos (2Ap))$
처럼 생긴다. 저기서, 파장에 대한 불확실성을 운동량에 관한 공식으로 바꿨다. 어차피 파장과 운동량은 정확히 반비례하니까 살짝 대입해 주면 된다. 운동량이랑 상관없는 것들은 $A$로 몰아넣었다. 이제, 저기에 $\Delta p$만큼의 $p$에 대한 불확실성이 있다고 하자.
그럼?
아니, 그럼? 그래서 뭐가?
아무튼 그대로 수식을 전개해놓고 보면
$\frac{I_0}{2} (1+\cos (2A(p+\Delta p)))=\frac{I_0}{2} (1+\cos (2Ap)\cos (2A(\Delta p))-\sin (2Ap)\sin  (2A(\Delta p)))$
이 된다.
이 실험은 전자 1개만 갖고 하는 실험이 아니라는 점이다. 물론, 전자 1개만 갖고서도 전자의 파동성을 "증명"할 수는 있다. 하지만 그 결과를 "확인"하기 위해서는 1개씩 따로따로 집어던진 전자를 갖고 하는 실험을 "여러번" 반복해서 해야 한다. 쉽게 얘기하자면, 전자 1개만 갖고도 간섭 현상이 일어나긴 하지만, "간섭 무늬"를 확인하기 위해서는 전자 1개만 갖고는 알 수가 없다. 따라서, 간섭무늬를 보기 위해서는 여러번 실험을 해야 하고 이 실험을 할 때마다 $\Delta p$가 같으리라는 법이 없게 된다. 그러므로 아주 많은 실험을 한 후에는 $\Delta p$가 아주 다양하게 변화된 상황들이 모두 겹쳐진 후에 결과를 보게 된다.

좀 더 정확히 얘기해 보자. 저기에 들어있는 변수중에 $A$에는 $\sin\theta$가 들어가 있다. 즉, 운동량이 변하면 간섭무늬의 위치가 변하는 것이다. 그런데 운동량의 불확정성이 작으면 간섭무늬의 위치에 대한 불확정성도
같이 작아지게 된다. 당연히, 운동량의 불확정성이 크면 간섭무늬의 위치에 대한 불확정성도 커지게 된다. 이런식으로 나타나는 불확정성은 실험을 여러번 반복하게 되면 "평균"으로 되어서 간섭무늬를 없애게 된다. 아주 간단히 알아볼 수 있다. 그래프를 그리기가 곤란하여 말로 설명하는데, 말하자면 간섭무늬 그래프를 $\Delta p$의 범위 만큼, 즉 불확정성의 범위만큼 평행이동하면 된다. 실험을 여러번 하게 되면 실험 마다 평행이동된 간섭무늬 그래프들이 겹쳐져서 나타나게 되고, 이렇게 생긴 중첩된 간섭무늬는 결국 간섭무늬가 없어지게 된다.




by snowall 2007.11.20 10:04
  • 모다 2007.11.20 10:46 ADDR EDIT/DEL REPLY

    불확정성 원리 하니깐... ET포스터 패러디가 생각나는군요;;;
    △E△t >= hbar/2 ;;;;;;

  • 2007.11.21 01:44 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다