질량과 에너지는 왜 같은 개념일까?

특수 상대성 이론에서의 가정은 딱 2개가 있는데 하나는 물리 법칙은 관성계에 대해 동일한 형태를 유지한다는 것이고, 다른 하나는 빛의 속력이 물리 법칙이라는 점이다.

관성계가 A와 B가 있다고 하고, 그 사이의 상대속도 차이가 u라고 하자. 그럼 빛의 속력이 유한하고 그 속력이 관찰자에 대해 항상 동일해야 한다는 가정을 만족시키면서 물리 법칙의 형태가 동일해야 한다는 가정도 만족시키려면 두 관성계 사이의 좌표 변환은 로렌츠 변환을 만족해야 한다. 로렌츠 변환은 갈릴레이 좌표 변환과 약간 그 형태가 다르다.
어쨌든 여기서 시간 지연과 길이 수축 현상이 필연적으로 유도된다. 이에 대한 유도는 달리는 기차에서 측정한 빛의 속력과 지상에 멈춘 역에서 측정한 빛의 속력이 같아야 한다는 가정을 이용해서 피타고라스 정리를 사용하면 간단히 유도된다.

그리고, 여기에 더불어 속도의 덧셈 공식도 달라진다. 갈릴레이 변환에서는 단순히 더하기만 하면 되었으나, 로렌츠 변환에서는 관성계 A에서 바라본 속도가 관성계 B에서 바라본 속도와 단순히 u만큼의 차이가 나는 것이 아니다. u만큼의 차이에 어떤 다른 숫자를 곱해줘야 한다. 이 숫자는 앞에서 시간 지연과 길이 수축 현상에서 얼마나 줄어드는지 알려주는 숫자와 같은 역할을 하는 숫자이다. (같지는 않다. 약간 달라진다. 이것 역시 책을 찾아보시길 바란다.)

여기서 한발 더 나아가면, 운동량 역시 관찰자의 속도에 따라 다르게 변환되어야 함을 알 수 있을 것이다. 단순히 p=mv라는 공식에 의해서 운동량 보존을 기술하면 관찰자가 달라지게 되는 경우 로렌츠 변환에 따르면 운동량 보존법칙이 깨지게 된다. 운동량 보존 법칙은 물리 법칙이므로 상대성 이론에 의하면 그 형태가 깨져서는 안된다. 따라서 운동량이 p=mv가 아니라는 것이다. 여기서 다시 상대론에 따른 운동량 보존법칙을 적어야 하는데, 운동량의 정의를 바꾸게 된다. p=k(u)mv라는 형태로, 관찰자의 상대속도 u에 관한 다른 변환인자가 추가된 형태가 된다. 여기서 만약 v가 속력이라는 고전적인 정의를 고치지 않는다고 하면 질량 m이 k(u)m으로 변하게 된다. 즉, 둘 중 하나가 바뀌지 않으면 운동량 보존이 성립하지 않는다. (정확히는 운동량이 바뀐 것이고, 둘 중 어느 하나가 단순히 바뀐 것이 아니다.)

운동량을 정의했으면 힘에 대해 정의할 수 있다. 뉴턴의 운동법칙에 따르면 힘은 운동량의 시간에 대한 변화율로 정의된다.(절대 F=ma가 아니다!) 따라서 운동량을 시간에 대해 미분하면 힘이 나타난다.

이 힘을 갖고 있으면, 이제 일과 에너지에 대해 알 수 있을 것이다. (이 과정은 중3 과학이나 고등학교 공통과학에서도 따라가는 과정들이다. 다만 그것이 상대론에 따라서 "시간"과 "공간"의 정의가 바뀌었기 때문에 복잡해 보이는 것에 불과하다.)
어떤 물체에 작용한 힘이 한 일은 그 물체의 운동에너지 변화량과 같다.
어떤 물체에 작용한 힘이 한 일은 힘과 변위를 곱하여 적분한 값이다.
따라서 힘을 적분하면 운동에너지 변화량이 나온다. 힘의 정의에 분명 운동량이 포함되고, 운동량은 다시 질량과 관계되기 때문에 질량과 에너지가 관계가 있게 된다. 여기서 그 유명한 $T=\gamma mc^2 - mc^2 = E-mc^2$이라는 공식이 등장한다. $\gamma$는 상대속도가 0일때는 1에 해당하는 값이고, 따라서 정지상태에서의 에너지는 $E=mc^2$이 된다.

편의를 위해(그리고 큰 의미를 두지 않고) c=1이라고 써보자.
$E=m$
이런 뜻이 된다. 그럼 c=1이라고 쓴 것은 어떤 의미일까? 우리는 항상 측정을 할 때 뭔가 변하지 않는 것들을 기준으로 측정을 해 왔다. 가령, 길이의 기원은 당시 국왕의 팔 길이나 코 길이나 손가락 길이 등을 기준 단위로 사용했었다. 시간의 기준 단위는 진자가 한번 흔들리는 시간이었다. 그러다가 기술이 발전하여 빛의 속력을 정확히 측정할 수 있게 되자, 빛의 속력을 단위로 쓰는 것이 어떤가 하는 의견이 나온 것이다. 그럼 우리가 기준 단위를 1m, 1인치 등으로 사용해왔으므로 빛의 속력을 단위로 쓴다면 1c가 단위가 될 것이다. c에 어떤 의미를 주지 않는다면 우리는 그냥 1c가 1의 크기를 갖는다고 볼 수 있을 것이다. 따라서 c=1이라고 두고 계산하는 것이 편리하다. ($c=\hbar=1$이라고 두는 것을 Natural Unit이라고 하며, 입자 물리학자들은 이 단위계를 선호한다.)

어쨌든 계산은 다 빼놓고 논리적 순서만 따라왔다. 귀찮아서 계산을 뺐다고 생각하면 되겠다.
관심있는 독자들은 계산을 한번 따라해 보면 좋은 연습이 될 것이다. (사실 나도 안해보긴 했다...-_-;)
by snowall 2008.02.16 10:06