Askhow는 항상 흥미로운 질문들의 보물창고다.

'a는 짝수이다'의 부정이
'a는 홀수이다'가 되나요, 아님
'a는 짝수가 아니다'가 되나요???
단, 여기서 a가 정수라는 조건은 따로 없습니다.
출처 : http://www.askhow.co.kr/qna/ah_qna_maths_r.asp?menu=1&no=2731
학생들의 댓글을 살펴보면 짝수임을 가정하는 것이 정수라는 것을 이미 가정하고 있다는 사실을 잘 모르는 것 같다.

어떤 k에 대해서 적당한 또다른 정수 n이 있어, 2*n=k인 조건을 만족하면 k를 짝수라고 부른다.
어떤 k에 대해서 적당한 또다른 정수 n이 있어, 2*n+1=k인 조건을 만족하면 k를 홀수라고 부른다.

짝수의 집합과 홀수의 집합은 정수를 정확히 분할한다. 즉, 짝수와 홀수의 합집합은 정수 전체이며 교집합은 없다.
그렇기 때문에, "짝수가 아니다"라는 표현은 "홀수이다"라는 표현과 동등한 표현이다.

만약 정수라는 조건이 없다고 하여 k가 그냥 실수나 유리수라고 해 보자. 그럼 이 경우 n역시 실수나 유리수로 확장되어야 한다. 만약 n이 정수라면 정수는 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 2*n=k가 될 수 있는 k는 정수밖에 없다. 따라서 k는 저절로 정수가 된다. k가 정수가 아닌 유리수라고 해 보자. 그럼 k는 짝수일수도 있고 홀수일수도 있다. 왜냐하면 2*n+1=k인 유리수 n은 임의의 유리수 k에 대해서 항상 존재하고, 동시에 2*n=k인 n도 또한 임의의 유리수 k에 대해서 항상 존재하기 때문이다. 따라서 유리수인 경우에는 홀수이냐 짝수이냐 하는 논의는 의미가 없다.

보충설명
"a가 짝수이다"라는 말이 "명제"이기 위해서는 참이거나 거짓이어야 한다. 그런데, a를 실수나 유리수라고 하자. 그럼, 앞서의 논의에 의해 a는 짝수도 아니고 홀수도 아니다. 따라서 "a가 짝수이다"라는 말은 명제가 될 수 없다.
그러므로 그 부정 또한 의미가 없게 된다.
by snowall 2009. 8. 17. 09:29
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  • 아놔 2009.03.15 06:35 ADDR EDIT/DEL REPLY

    그럼 위에서 제가 제시한 명제는 거짓인 명제가 분명하군여.
    대우의 반례도 동일하니까요.

    그런데 자꾸 1/2 이 홀수인지 아닌지가 의미가 없다고 하셨는데

    분명 위 명제의 거짓을 증명할 때 쓰였고 (1)

    1/2 이 홀수가 아님을 제 나름대로 증명했는데 (2)

    왜 자꾸 의미가 없다고 하십니까?

    의미가 없다는 말은 1/2 이 홀수 인지 아닌지 모른다는 말인가여?

    분명히 제가 '홀수가 아님을' 증명을 했는데도여?

    아니면 증명에 틀린 점이 있나여?

  • 아놔 2009.03.15 22:52 ADDR EDIT/DEL REPLY

    이쯤 되니까 약간 소모적이 논쟁이 되는것 같네여..

    같은 말을 몇번씩 하고 있으니까여..

    제 질문의 요지는

    위의 본문의 추가내용 a는 짝수이다에서

    a 가 정수가 아닌 유리수면 참,거짓을 구별 할 수 없댔는데
    a가 정수가 아닌 유리수면 무조건 거짓인 명제인데 왜 명제가 아니라고 하시는지.

    1/2 은 짝수이다 - 거짓인 명제
    1/2 은 홀수이다 - 거짓인 명제

    즉 1/2은 짝수이다의 부정은 1/2은 짝수가 아니다. - 참인 명제
    1/2은 홀수이다의 부정은 1/2은 홀수가 아니다 - 참인명제

    1/2이 짝수이다 혹은 1/2이 홀수이다 모두 거짓인 명제 입니다.

    증명은 위에서 한 것이구여..

    저는 이러한 입장에서 1/2이 홀수 혹은 짝수가 아니라는 명제가

    의미가 있다는 이야기였습니다.

    즉 a는 짝수이다 에서 a가 무리수여도

    거짓인 명제 입니다.

    왜냐 위의 댓글에서 한증명때문이죠..

    ( a가 홀수이면 a는 정수이다 <=> a가 정수가 아니면 a는 홀수가 아니다.
    a 가 짝수이면 a는 정수이다 <=> a가 정수가 아니면 a는 짝수가 아니다. )

    그러므로 a가 정수가 아니면 명제가 아니라는 말은 잘못된 것 입니다.

    그러므로 a가 짝수이다의 부정은
    a는 짝수가 아니다 입니다.

    a가 홀수이다가 a가 짝수이다의
    부정이라고 바라보시기만 하니까

    a가 정수가 아닌 유리수일때
    명제가 안된다고 느끼시는 것입니다.

    a가 짝수이다 의 부정이

    a가 짝수가 아니다 라고 바라보시면

    위의 이유에 따라서 명제가 됩니다.

    • 작은인장 2009.03.16 03:26 EDIT/DEL

      snowall님께서 끈질긴 분을 만나셨네요. ^^
      오래전에 제가 제기했다가 귀찮아서 포기했던 내용인데..^^;

    • snowall 2009.03.16 20:07 신고 EDIT/DEL

      "짝수"라든가 "홀수"라든가 하는 걸 따질 때는 반드시 "정수"범위에서만 따지게 됩니다.
      아놔님의 의견을 이해하지 못하는 것이 아니라, 그 근본을 부정하는 겁니다.
      유리수에서는 "짝수"라든가 "홀수"라든가 하는 개념 자체가 없습니다. 유리수에서 숫자 2를 "짝수"라고 부를 수 있나요? 2는 유리수 범위에서는 짝수도 아니고 홀수도 아닙니다.
      "a는 짝수이다"라는 명제에서, a를 유리수 범위에서 선택한다고 해 보죠. 예를 들어서, a=2를 대입하고 "2는 짝수이다"라는 명제가 되는데, 2는 2=2k+1인 k가 유리수에 존재합니다. 홀수예요. 물론 2=2m인 m도 유리수에 존재합니다. 짝수이기도 하죠.
      따라서 유리수인 경우에는 짝수냐 홀수냐 따지는 것 자체가 완전히 무의미합니다.
      그래서 저는 "a는 짝수이다"라는 문장에서 a를 유리수 집합에서 선택한다면 그 문장이 명제가 되지 않는다고 주장하는 겁니다.

  • 소인배 2009.03.16 21:16 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    첨언을 하자면... f(x)=1/x라고 할 때 f(0)!=1이라고 할 수 없습니다. 왜냐? f(x)가 정의되지 않기 때문입니다. f(0)이라는 사실을 부정할 수는 있지만 그것은 formal language로 ~(f(0)=1)이 되는 것이지, f(0)!=1이라고 할 수 있는 건 아니죠.

  • 아놔 2009.03.17 04:38 ADDR EDIT/DEL REPLY

    위에서 이야기한 명제에 대해서는 언급이 없으시네여.

    a가 홀수이면 a는 정수이다(참) <=> a가 정수가 아니면 a는 홀수가 아니다. (대우)
    a 가 짝수이면 a는 정수이다 <=> a가 정수가 아니면 a는 짝수가 아니다.

    그러므로 a ∈R-Z 이면
    a가 짝수다 - 거짓인 명제 =부정=> a는 짝수가 아니다. 참인 명제
    a가 홀수다 - 거짓인 명제 =부정=> a는 홀수가 아니다 참인명제

    이 명제에 대해서 의견 적어주시면 감사하겠습니다.

    끈질기게 질문해서 죄송합니다.


    더하기 하나=

    수가 확장된다고 해서 정의까지 확장되지는 않습니다. 정의는 말그대로 약속이니까요.

    그러므로 a를 유리수 범위까지 확장해도 a가 짝수이기 위해서는

    적당한 정수 n이 있어, 2*n=a인 조건을 만족하면 a를 짝수

    라는 조건을 만족해야 하는 것이지 n 까지 확장할 이유는 없습니다.

    왜냐면 짝수는 주인장님의 말대로 정수에서 정의된 수이기 때문입니다.

    그러므로 임의의정수 n에 대하여 2n=a 를 만족하지 못하므로

    a가 짝수가 아니다라는 관점을 보인 것입니다.

    더하기 둘-
    '짝수이면 유리수이다' - 참인 명제
    그럼 '명제의 역'인 유리수이면 짝수이다는
    참이건 아니건 어쨋던 '명제'인 것입니다
    명제의 역이 명제가 아닐수는 없으므로..

    조금더 자세히 살펴보면
    1/2 는 정수다 - 거짓인 명제죠? 왜냐하면 1/2은 결론의 집합인 정수에 포함되지 않습니다.
    그럼 정수의 부분집합인 짝수를 결론에 귀착한
    1/2은 짝수이다 는 짝수⊂정수 이므로 더욱 명백한 거짓입니다.

    이를테면 실수이면 유리수다. -거짓-
    실수이면 정수이다. -거짓-
    실수이면 짝수이다. -명제아님??-

    ==
    저는 이상의 3가지 견해에서
    a는짝수이다의 부정이 a는 짝수가 아니다 임을
    주장하는 것입니다.

    이번에는 다소 귀찮으시더라도
    본문과 더하기1 , 더하기2
    내용에 대해서 모두
    comment를 달아주셨으면 합니다.
    저는 이런 이야기를 나누는 것에 즐거움을
    느꼈는데 주인장님께는 폐가 되었네요..
    그 점에 대해서는 다시한번 사과드립니다.

    • Fish 2009.03.17 06:25 EDIT/DEL

      You are completely missing the point.

      Mr. Snowall is saying that for a number "a", unless "a" is an integer, the premise "a is even" is not well-defined.

      You are absolutely right. You can extend the definition of parity to any algebraic structure in which the integers are contained. Then everything you are saying is true.

      But this isn't conventional. As in people in the mathematical community does not use this convention.

      In conclusion, I don't really understand your point. And I'm sorry for typing in English, but I can't type Korean on this computer.

    • snowall 2009.03.17 09:08 신고 EDIT/DEL

      우선 대우 명제를 갖고서 논한 부분에는 논리적으로는 오류가 없습니다. 저는 우리가 논의하는 대상에 대한 문제제기를 하는 거죠.

      더하기 하나에 대해서
      짝수/홀수를 정할 때는 숫자 2에 대한 사칙연산을 이용해서 정합니다. 2n=a에는 곱셈이 들어가 있고, 2n+1=a에는 곱셈과 덧셈이 들어가 있죠. 이때 곱셈과 덧셈은 모두 n과 a가 잘 정의되어야 합니다. 가령 n이 정수인데 a는 유리수이거나, 반대로 a가 정수인데 n이 유리수이거나 할 수 없다는 뜻입니다. n을 정수에서 고른다면, 그에 대한 사칙연산의 결과는 반드시 정수가 됩니다. 따라서 a는 정수가 됩니다. a가 유리수라면 n도 반드시 유리수 집합에서 가져올 수 있어야 합니다. 물론 계수로 등장한 2 역시 유리수가 되어야겠죠.

      더하기 둘
      이 부분은 제가 틀린 것 같군요. 아놔님의 주장이 맞는 것으로 보입니다.

      하지만 결론은 여전히 수긍할 수 없는데, 저는 "a는 짝수이다"의 부정이 "a는 짝수가 아니다"라는 것을 부정하는게 아닙니다. "a는 짝수가 아니다"라는 주장이 "a는 홀수이다"라는 주장과 동치라는 것을 주장하는 겁니다.

      이하 Fish님의 댓글도 참고해 주시기 바랍니다.

  • 아놔 2009.03.17 18:09 ADDR EDIT/DEL REPLY

    더하기 하나부분에 대한 글입니다.

    fish 님 도 같이 봐주세요...

    어떤 정리를 수를 확장시켜 나갈때 당연히 정리안의 수들도

    같이 확장되어 가는 것은 저도 알고 있습니다.(이를테면 지수의 확장..)
    그렇지만 그것은 정리의 확장일때고, 정의일때는
    그렇지 않을수 있다는 것입니다.

    예) 유리수의 정의
    a가 유리수이다. <=> 어떤정수 p,q가 존재하여
    a=q/p 를 만족(단p는 0이 아니다)

    루트2가 유리수가 아님을 보이는데 p,q 도 유리수나
    실수로 확장하나여?

    루트2가 유리수라 가정하면 어떤 정수 p,q가 있어
    루트2=q/p를 만족한다고 하면...

    이렇게 시작하여 무리수임을 증명합니다.

    이제 짝수논쟁으로 돌아오면

    짝수의 정의
    a는짝수다 <=> 어떤 정수 n 이 존재하여
    2n=a 를 만족한다.

    1/2이 짝수가 아님을 증명 하는데

    위의 유리수 증명과 같이 n을 유리수나 실수로
    확장하지는 않는다는 것입니다.

    즉 모든 정수 n 에대하여 2n=1/2이 될수없으므로
    1/2은 짝수가 아니다 라고 증명한 것입니다.




    루트2가 유리수가 아님을 증명하는 것과
    1/2이 짝수가 아님을 증명하는것..
    굉장히 닮았다고 생각하는데요..
    =====================================================

    그리고 이전 제글의 본문의 대우명제는 우리가 논의한 대상과 관련이 있습니다.

    그명제에서도 결국 a가 정수가 아니면 a는 짝수가 아니다를 보이기 때문이죠.
    즉 1/2은 정수가 아니므로 짝수가 아님 이건 더하기 둘과 같은 맥락이고
    주인장님도 동의하셨으므로 패스~
    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    하지만 끈질기게 질문한 덕분에 (?) 1/2은짝수이다가 거짓인 명제까지는

    소득을 얻었네여;; 그런데 짝수가아니다 랑 홀수이다 를 같이본다면

    1/2은 짝수이다 - 거짓인 명제
    를 부정하면

    저의 답은 1/2은 짝수가 아니다 - 참이지만
    주인장님의 답은 1/2은 홀수이다 -거짓이 됩니다.

    명제는 반드시 '참을 부정하면 거짓이' '거짓을 부정하면 참이' 나와야 하는데

    이현상은 어떻게 설명할수 있는지 ...

    그러므로 짝수가 아니다는 홀수이다랑은
    동치가 아니다라고 주장하는 것입니다.
    짝수이다의 부정은 짝수가 아니다만 되지 홀수이다는 틀리다는 것입니다.


    p.s

    이번에는 처음단락과 마지막 단락에 대한 comment만
    해주시면 감사하겠습니다.

    • snowall 2009.03.17 20:22 신고 EDIT/DEL

      우선, 2의 제곱근의 유리수인가 아닌가 하는 부분은 이해 했습니다.

      명확히 작성하도록 하겠습니다. 이 논란의 발단은 "2는 짝수이다"라는 문장에서 2가 유리수인지 정수인지 언급하지 않았기 때문입니다.
      2를 정수나 자연수로 생각하고, 또한 우리가 생각하는 수 집합을 정수 또는 자연수로 제한한 상태에서 논의한다면, "2는 짝수이다"라는 명제의 부정이 "2는 홀수이다"가 항상 가능하다는 것에는 이의를 달지 않으실 것이라고 생각합니다.

      이제, 2가 유리수인 경우, 또는 우리가 생각하는 집합을 정수나 자연수로 제한하지 않은 경우에 어떻게 되는지를 알아 보죠. 물론 이건 지금까지 잘 논의되었습니다.
      이 경우에는 아놔님이 말씀하신 논리가 전부 올바릅니다. 따라서 "2는 짝수이다"의 부정은"2는 짝수가 아니다"만 가능하지 "2는 홀수이다"는 부정이 되지 않습니다. 여기에는 저도 이의가 없습니다.

      저나 Fish님이 문제삼는 부분은, "2는 짝수이다"라고 말할때, 모든 수학자는 (수학자 아니라 대부분의 일반인은) 2를 정수로 생각하고, 또한 생각하는 대상 또한 정수로 제한해서 생각한다는 뜻입니다. 따라서, 아무도 아놔님처럼 세밀하게 따지지 않습니다. 모두가 "2는 짝수이다"라고 말할때 2는 정수로서 간주되고 있다는 걸 잘 알기 때문이죠. (이런 부분은 수학적인 문제가 아니라 수학 외적인 문제긴 하지만...)
      그러므로 "2는 짝수이다"라는 명제의 부정이 "2는 홀수이다"라는 명제가 된다고 주장하더라도, 대부분의 경우에는 이의를 제기하지 않습니다.
      물론 아놔님처럼 끝까지 파고드는 사람도 있겠지만, 그런 경우에는 어떤 집합에서 논의하고 있는지, 어떤 대상을 놓고 이야기하는지를 명확히 하지 않는다면 지금처럼 소모적인 논쟁이 될 수 있습니다.

      우리가 말하고 있는 대상이 명확하지 않았기 때문에 발생한 문제라고 봅니다. 아놔님이 틀리지는 않았습니다.

  • flyingtext 2009.03.17 23:27 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    아놔님께 조심스레 반문 하겠습니다. 철학적인 문제입니다. 비트겐슈타인의 철학중에 모든 철학적 문제는 언어의 혼동 때문에 문제가 생긴다는 개념이 있습니다.

    http://kin.naver.com/open100/db_detail.php?d1id=11&dir_id=110108&eid=m4RczJ2rsYqsYKbqVhgv2Ve5ammyiK5y&qb=67mE7Yq46rKQ7IqI7YOA7J24IOyyoO2VmeydgCDslrjslrTsnZgg7Zi864+Z&enc=utf8&pid=fk%2BX%2Bsoi5TGsscVYPpVsss--478777&sid=Sb@IGEt8v0kAAFX5KsQ

    저글에 따르면

    그가 이런 주장들을 편 데에는 약간의 배경이 놓여있다. 서문에서도 밝히고 있듯이, 그는 철학적 문제들을 해소하고자 했고, 그 문제들은 사실상 언어를 혼동하고 있기 때문에 발생한다는 것이다. 그의 표현을 따르면, 모든 철학적 문제들은 '말할 수 없는 것을 말하려 하기 때문에' 생긴다. 따라서 비트겐슈타인은 말할 수 있는 것과 말할 수 없는 것, 생각할 수 있는 것과 생각할 수 없는 것을 구분하고자 한다. 그의 방법론은 말할 수 있는 것에 대해 말함으로써 말할 수 있는 것과 없는 것의 구분선을 긋는 것이인데, 그에 따르면, 말할 수 있는 것은 사실적인 명제들의 총체(즉, 자연과학적 명제), 즉, 참이거나 거짓일 수 있는 그런 문장들이다. 그렇기 때문에 그는 마지막에 '말할 수 없는 것에 대해 우리는 침묵해야 한다'('논고', 7)고 말하는 것이다.

    자연과학적인 문제, 즉 참이고 거짓인 것을 판단 할 수 있는 문제(여기에선 짝수 판단 문제)는 참이거나 거짓이어야 할 문장입니다. 그러기에 snowall님이 보충으로 달아놓으신
    '정수를 "a가 짝수이다"라는 말이 "명제"이기 위해서는 참이거나 거짓이어야 한다. 그런데, a를 실수나 유리수라고 하자. 그럼, 앞서의 논의에 의해 a는 짝수도 아니고 홀수도 아니다. 따라서 "a가 짝수이다"라는 말은 명제가 될 수 없다.그러므로 그 부정 또한 의미가 없게 된다.'
    라는 설명은 이미 이문제에 대해 모든 것을 해결해 놓은 문장입니다.

    아놔님이 말하시려고 하는 의도는 알겠으나, 이미 선행적인 지식, 즉 '짝수는 정수이다'를 부정한 'a는 짝수이다'를 부정한 것은 아예 문장 자체가 성립이 되지 못합니다. 즉 명제가 아닙니다.

    예를 들면 (아주 쉬운 예로) 1+1=2 를 증명하시오 라는 명제를 보았을때, 우리는 저것이 또다른 공리계로 생각해보니 틀렸다 라는 말을 하지 않습니다. 이미 저문장의 개념은 유클리드 공리안에서 성립된 문장, 식이기 때문에 더이상의 반문 또한 선행지식에 대한 반박밖에 될수 없지요.

    사실 '아놔'님과 같은 '회의주의'적 수학 접근법은 이미 실패한 방식이라고 저는 봅니다. 왜냐, 괴델의 불완전성 정리를 참고하시면 되겠습니다. 이상입니다.

    • 아놔 2009.03.18 01:42 EDIT/DEL

      a가 실수나 유리수인 경우에도

      명제임을 제가 증명했고 (위의 내용들에서)

      snowall 님 또한 동의하셨습니다.

      얼핏 보기에는 제가 무작정 떼쓰고 있는듯 보일수도

      있지만

      (글 내용들을 다 안 읽고 기타 댓글들을 읽어보면

      그동안 제 편(?) 은 아무도 없었고, 그저 끈질기고

      답답한 사람 취급을 받아 왔으니까요)

      결국 논리싸움에서는 틀리지 않았다고 생각합니다.

      아무튼 네글자군 님께서 제시하신 부분

      '
      snowall님이 보충으로 달아놓으신
      '정수를 "a가 짝수이다"라는 말이 "명제"이기 위해서는 참이거나 거짓이어야 한다. 그런데, a를 실수나 유리수라고 하자. 그럼, 앞서의 논의에 의해 a는 짝수도 아니고 홀수도 아니다. 따라서 "a가 짝수이다"라는 말은 명제가 될 수 없다.그러므로 그 부정 또한 의미가 없게 된다.'
      라는 설명은 이미 이문제에 대해 모든 것을 해결해 놓은 문장입니다 '

      이 부분은 snowall 님도 잘못생각하셨다고 인정하셨습니다. 다시한번 이야기 하지만

      a가 유리수건 실수건간에 a는 짝수이다는

      항상 명제입니다

      아무튼 결론이 이렇게 난 상황이니까
      네글자군 님은 다시한번 글들을 정독해 주셨으면 합니다.

      아니면 님이 직접 제 논리를 반박하시던지요..


      ***
      마지막으로
      제 접근법이 회의주의적이고 실패한 접근법이라니요
      (이부분에서 -_-; 네글자군님이 댓글들을 안읽었거나 수학을 모르시거나 둘중하나겠다는 생각을 했습니다.)


      snowall 님이 기분나빠하실까바

      표현을 조심스럽게 쓰려고 했는데..

      결국은 snowall 님도 a,b가 정수라는 조건이 없으면

      제말이 맞다고 인정하셨습니다.

      주변상황만 보고 함부로 판단하지 않으셨으면합니다.

      10명이 틀린말 할때 1명이 바른말하면

      당장에는 1명이 바보,답답한사람으로 보이겠지만

      수학적인 논리로 제 말이 맞다고 이미 결정이 난

      사항인데 네글자군님한테 그런 말 들을 이유없다고

      생각합니다.

      ====================================

      그리고 snowall 님께 마지막 한마디...

      저또한 '2는 짝수이다'의 부정은 '2는 홀수이다' 가

      '2는 짝수가 아니다'보다 더욱 명확한

      부정이라고 생각합니다. 2는 정수니까요.

      그렇지만 저는 맨처음부터 본문에

      ==본문 ===
      'a는 짝수이다'의 부정이
      'a는 홀수이다'가 되나요, 아님
      'a는 짝수가 아니다'가 되나요???
      단, 여기서 a가 정수라는 조건은 따로 없습니다


      정수라는 조건이 따로 없다는 말에 집중했고

      그래서 저는 처음부터 수의 범위가 정수를 넘는 경우의
      반례들을 제시한 것입니다.

      즉 본문의 정확한 답으로써 적절하지 않다고
      의견을 제시했었던 것입니다.

      즉 저는 본문에 충실했을 뿐이죠..
      아무튼 저는 논의하는 내내 즐거웠기때문에
      뭐 이런일로 snowall님이 저에대한 감정이
      안좋아지셨다면 사과드리고요. 온라인이지만
      이런 수학을 이야기할수있는 친구가 생겼다는
      생각에 즐거웠고 가끔 놀러올 생각입니다.

      저만의 생각일 수 있지만여:)

      그동안 민폐끼쳐서 죄송합니다.

    • flyingtext 2009.03.18 02:03 신고 EDIT/DEL

      제 댓글의 의도를 잘못 읽으셨군요.

      제말의 의도는 인간이 직관적으로 아는 것들을 이미 선행가정이라고 보고 그것을 미리 가정해 놓은 명제들에대해서 선행 가정들을 부정해 버린다는 것은 의미 없다는 뜻입니다. 그것을 위해 1+1=2의 예를 들어보았구요.

      아, 그리고 제 댓글의 마지막 줄을 나쁘게 받아들으셨다니 죄송하네요. 그렇지만 '수학적인 논리'라는 것의 정확한 정의를 듣고자 합니다. 이부분에 대해서는 꼭 수학이 '사람을 쓰러트림'으로서 완성되어지는 듯한 뉘앙스를 풍겨서 좀 억지스러운 부분도 있네요. 사람을 쓰려트리는 것은 논리외에도 끈질긴 억지와 폭력등의 방법이 많이 있기 때문이죠.

      그리고 제가 회의주의적이고 실패한 접근법이라 한것은 '가정'이라는 것은 인간의 직관에 근거해 놓고 시작하기 때문입니다. 예를 들면 우리는 1+1=2라는 것을 말하기위해서 유클리드 공리까지 완전히 설명하는 것은 아니잖습니까? 그것은 어디까지나 시간낭비, 힘낭비일 뿐이죠. 오히려 괴델의 불완전성 원리에 의해 수학에 증명이 가능하지 않은 명제도 있음에 따라 가정 또한 결국 어떠한 '증명 못할 가정'이 등장할 파국에 도달할 수 있다는 면에서 '실패했다'라고 말씀드린겁니다.

      이만 여기서 마치겠습니다. 아놔님의 논리가 틀렸다 라고는 하지 않겠습니다. 그러나 불완전하다 라고만 하겠습니다. 왜냐, 아놔님 접근법대로 한다면 아놔님이 증명하신 모든 것에 대해서 다시 가정에 근거와 증명을 계속 무한히 반복해야 할 테니깐요.

    • 아놔 2009.03.18 02:31 EDIT/DEL

      네글자군 님은

      제가 억지글로 도배해서 snowall 님이

      마지못해 인정하셨다고 생각하시는 모양입니다.

      네글자군님한테는 제가 무슨말을 하던

      제 이야기는 듣지 않을 뉘앙스가 풍기는 군요.

      네글자님께는 snowall 님이 설명해주셨으면

      하는 도움을 청해봅니다. snowall 님의말이라면

      듣겠지요...

      ====

      논리의 전개를 이해도 안하고 저를

      그냥 억지나 쓰는 이상한사람 취급하다니 ;;

      이렇게 황당할 수가..-_-;

    • snowall 2009.03.29 11:02 신고 EDIT/DEL

      1.네글자군 님
      아놔님의 의견은 논리적으로는 맞습니다. 물론 제가 완전히 납득한 것은 아니지만, 당장은 반박할 근거를 찾지 못해서 우선 수긍합니다. 언젠가 근거가 생기면 다시 반박할지도 모르죠...

      2.아놔 님
      민폐라든가 기분이 상했다거나 하지는 않습니다. 이재율씨보다는 훨씬 낫습니다. -_-; (비교해서 죄송...)

      나머지는 각 댓글에다가 답하도록 하지요.

      감정적인 싸움은 자제해 주세요.

  • flyingtext 2009.03.18 02:31 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    수학과 논리학의 기초가 철학인지 안다면 괴델의 불완전성 정리로 인한(이것도 수학적 정리이지요) 가정과 결과의 허구성을 제말을 듣고 이해하셨을겁니다.
    용어가 좀 난해해지면 바로 뒷짐지고 '아 철학적이고 현학적이다'라고 말하는 것은 무엇이지요? 누가 더 논리적인가요? 그리고 논리적 근거가 안보인다면 왜 제 말들이 논리적 근거가 되지 않는지도 설명해야 잖습니까?
    아마 아놔님은 아무래도 저를 무시하는게 도를 지나치시는데요 이는 지식의 깊이라기보단 사람의 성숙도 차이인것 같네요. 그리고 '가정'이라는 것에 대한 논리적 개념이 없으신 분은 따로 있는 것 같네요. snowall님의 블로그에 더이상 이런 궤변을 답하는 누를 범하기 싫습니다.
    저 또한 이제 아놔 님이 뭐라고 하시든간에 답변 안하겠습니다.

  • flyingtext 2009.03.18 02:33 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    댓글 내용이 순식간에 바뀌었네요.
    다시 적겠습니다.
    억지란 것이 소피스트의 억지가 있고 말도 안되는 억지가 있습니다.
    잘 생각해 보시지요. 궤변도 논리적으로는 말이 되니깐 궤변입니다.

    • 아놔 2009.03.18 02:40 EDIT/DEL

      어디가 잘못된지 이야기해 주시요.

      1) 1/2 은 짝수이다 - 거짓

      (이유 : 짝수이면 유리수이다 -참인 명제

      그러므로 역도 명제 : 명제의 역은 참이든
      거짓이든 명제 )

      그러므로 유리수이면 짝수이다는 어쨌던 명제
      그리고 유리수이면 정수이다 - 거짓
      그런데 짝수⊂정수이므로
      유리수이면 짝수이다 - 거짓


      이게 왜 궤변인지요?



      smowall 님도 위 명제를 보고서는

      애초에 말씀하셨던

      a는 짝수이다에서 a가 실수나 유리수면
      명제가 아니다 라는 말이 틀렸음을 인정했습니다.


      이제는 네글자군 님 차례입니다.
      왜 제 말이 궤변이고 snowall님이 틀렸다
      인정한 저 말이 진짜가 되는지요?


      이부분만 반박해 주신다면

      네글자님을 인정하겠습니다.

  • flyingtext 2009.03.18 02:42 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    그리고, snowall님이 당신의 궤변에 어쩔수 없이 응했던 것과 말 것과 상관없이 독자적인 제 체계의 논리입니다. 선험적 지식을 기반으로 하여 인간이 명제의 가정을 만들어 낸다는 것은 이미 상식이지 않습니까?
    그리고 선험적 지식을 벗어난 완전히 기호화된 이성은 없다는 것은 괴델의 불완전성 원리를 통해 제가 이미 누누히 말씀드렸고요.
    이미 짝수 라는 개념안에는 정수를 포함하고 있다는 것이 바로 이 '선험적 지식'입니다. 얼마나 더 쉽게 풀어들어야 됩니까?

    • 아놔 2009.03.18 02:47 EDIT/DEL

      우리 둘은 서로를 조금도 인정하지 않으니까

      snowall 님께 누가 옳은지 여쭤보는 것은 어떠신지요?

      snowall 님의 블로그를 더이상 어지럽히지말고

      더이상 이런일로 서로 감정 상하지도 말고

      snowall 님의 댓글을 기다려봤으면 합니다.

  • flyingtext 2009.03.18 02:45 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    짝수라는 것의 정의를 분명히 하죠.
    네이버 백과사전 참고

    짝수 : http://100.naver.com/100.nhn?docid=144297
    2로 나누어 떨어지는 정수(整數),

    즉, …-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,… 등이다. n을 임의의 정수라 할 때, 2n의 꼴로 표시되는 정수를 말한다. 이에 대하여 홀수는 2로 나누어 떨어지지 않는 정수이며, 2n+1의 꼴로 표시된다. 짝수와 홀수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다. 짝수 ·홀수는 정수를 2로 나누었을 때의 나머지에 의해 2분(二分)된 것인데, 3의 입장에서 정수를 3분하면, 3으로 나누어 떨어지는 수, 3으로 나눌 때 1이 남는 수, 3으로 나눌 때 2가 남는 수의 셋으로 분류된다.

    이와 같이 임의의 정수 n의 입장에서 정수를 n개의 유(類)로 나누어 정수론의 합동의 이론을 세우게 되었다. 짝수 ·홀수는 그것의 가장 간단한 예라고 할 수 있다. 짝수+짝수=짝수, 짝수×짝수=짝수 홀수+홀수=짝수, 홀수×홀수=홀수 짝수+홀수=홀수, 짝수×홀수=짝수



    됬습니까?

  • flyingtext 2009.03.18 02:48 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    전 자러 가겠습니다.
    2로 나누어 떨어지는 정수 라고 정의하였을때
    이미 짝수라는 정의에는 '정수'라는 개념이 확실히 들어가있으므로
    정수란 개념없이는 짝수는 짝수가 아닙니다.
    안녕히주무십시오

    감정적인것이 있으셨다면 매우 죄송합니다. 음.. 사실 제가 논쟁할때 좀 밀어붙이는 경향이 있긴 하거든요. 안녕히주무세요 ^^

  • flyingtext 2009.03.18 02:53 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    아 그리고
    명제의 역이 명제라고 하셨는데요

    틀리셨네요 ^^ 명제의 대우만이 같습니다.

    (이유 : 짝수이면 유리수이다 -참인 명제

    그러므로 역도 명제 : 명제의 역은 참이든
    거짓이든 명제 ) - > 틀린거죠 ^^ 명제의 '부정'과 '역'은 다른 거입니다.

    아예 아놔 님이 고등학교 1학년 수준 수학부터 잘못 배우셨네요 ? ^^

    공부 더하시고 철학 더배우신 후에 오세요 ^^ 안녕히주무세요

    • 아놔 2009.03.18 02:55 EDIT/DEL

      -_-;

      명제가 참이면 대우가 참 이랑 헷갈리신거 아닙니까?

      명제의 역이 명제라는 말이 왜 고1수학만도

      못한지요?-_-;;

      명제의 역이 명제가 안된다는 네글자군 님의

      생각이 더 웃깁니다만..

  • flyingtext 2009.03.18 02:54 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    찬찬히 읽으셨더니

    이거 고1 수학에서 틀리셨네요 ^^

    안녕히 주무세요. 당신은 틀리셨습니다. 매우 감사합니다. 단지 저는 3시간을 당신 때문에 쏟았을 뿐입니다. 참 기분이 아스트랄하네요. 이상한 단어 하나 때문에 당신의 논리는 박살이 나셨네요 ^^ 감사합니다. 매우 감사합니다 ^^ 당신의 논리는 틀리셨습니다. 아놔님 그래도 인생에 힘을 내세요. 죽을 일은 아닙니다^^

    • 아놔 2009.03.18 02:58 EDIT/DEL

      한번 자신이 이겼다고 생각하니까

      굉장히 비꼬시는군요...

      당신의 인간성이 보입니다..

      그런데 어쩝니까?

      전 안틀렸는데 ;;;;

      쪽팔리셔서 어쩌나여?

      snowall님이나 기다리시져

  • 네글자군 2009.03.18 02:57 ADDR EDIT/DEL REPLY

    아닙니다 ^^ 틀리셨습니다.
    역과 부정은 다릅니다.

    일단 명제가 p->q라고 해봅시다

    그렇다면 이 명제의 부정은 p->~q 입니다.
    그렇지만 역은 q->p입니다 ^^ 당신은 발리셨습니다 ^^ 용어 하나로 발리셨습니다

    다시 오셔서 노시려면 논리를 아예 처음부터 세우시든지 하셔야 될텐데... ㅎㅎ 안습이시네요

    • 아놔 2009.03.18 02:59 EDIT/DEL

      발렸다는 또 뭐고.. -_-;;



      명제 p->q 의 역 q->p 는 명제가 아닙니까?

  • 네글자군 2009.03.18 02:59 ADDR EDIT/DEL REPLY

    아예 교과서를 써드릴까요?? ^^

    명제 : p->q 일때
    역 : q->p
    이 : ~p->~q
    대우 : ~q->~p

    입니다 ^^

    • 아놔 2009.03.18 03:01 EDIT/DEL

      역은 역명제의 줄인말입니다.

      명제의 역또한 명제입니다.

      제글 어디에도 명제가 참일때

      역이 참이다 라고 말한적은 없습니다.

      명제가 있으면 역또한 명제라고 했지...

      제발좀.... 수학공부좀 하세요...

      남 비난하는데만 혈안이 되서셔리..

  • 네글자군 2009.03.18 03:00 ADDR EDIT/DEL REPLY

    그렇지만 부정은 다릅니다 ^^
    명제가 p->q일때
    그것의 부정은 p->~q 입니다 ^^

    • 아놔 2009.03.18 03:02 EDIT/DEL

      그러니까

      저는 명제의 역이 명제라고 말했다니까여..

      그리고 명제의 부정 또한 명제인게 당연하지..

      -_-;; 천천히 생각해보세요..

  • 네글자군 2009.03.18 03:01 ADDR EDIT/DEL REPLY

    그러므로 아예 처음부터 다른 것을 당신은 같다고 우긴겁니다

    바로 q->p 와 p->~q를 같다고 생각하고 착각한거죠 ^^

    발리셨으니 주무세요 ^^
    많이피곤하실텐데...

    snowall님 안타까우시다 ㅜㅜ 이런 분 대하느라 힘드셨을텐데

    이재율씨 때문에 요즘 힘드신데;;;

    • 아놔 2009.03.18 03:11 EDIT/DEL

      네글자군님이

      지금 하시는 행동이 바로

      이재율씨처럼

      '억지' 궤변으로 상대를 지치게 만드는

      행동입니다.-_-;;

      근데 위에 글들 진짜 남이 보면 쪽팔릴텐데

      대단하십니다!!!

      =============

      그리고 snowall 님 죄송합니다.

      블로그 댓글란이 난잡해져서....

  • flyingtext 2009.03.18 03:27 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    -_- 알겠습니다. 그부분에 대해서 틀린 것을 인정하겠습니다만
    (제가 틀린 부분은 지우지 않겠습니다. 왜냐? 잘못한게 맞으니깐요.)
    그러나 아직도 반박의 여지가 있는 것이 짝수⊂정수 논리전개부분이 좀 걸립니다. 이미 틀린 명제에 대해서 더 조건을 붙여서 그렇게 하셨으니말이죠. 그런 부분이 아직도 반박의 여지가 있다는 것입니다. 이는 이에 대한 다이어그램으로 볼 수도 있을 듯합니다.

  • flyingtext 2009.03.18 03:47 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    음.. 그리고 개인적으로 아놔님을 놀려먹으려고 했던것 죄송합니다.

    저녁이 맛이 좀 갔었나보네요 -_-

  • snowall 2009.03.18 09:01 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    음...
    밤새 무슨일이...-_-;
    요즘 일하느라 정신이 없어서...이 토론에 대한 댓글은 시간 좀 지난 후에 달도록 하겠습니다.
    저도 정리가 안되네요...;;
    아예 새 글로 써야 할지도...