짝수와 홀수

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'a는 짝수이다'의 부정이
'a는 홀수이다'가 되나요, 아님
'a는 짝수가 아니다'가 되나요???
단, 여기서 a가 정수라는 조건은 따로 없습니다.
출처 : http://www.askhow.co.kr/qna/ah_qna_maths_r.asp?menu=1&no=2731

학생들의 댓글을 살펴보면 짝수임을 가정하는 것이 정수라는 것을 이미 가정하고 있다는 사실을 잘 모르는 것 같다.

어떤 k에 대해서 적당한 또다른 정수 n이 있어, 2*n=k인 조건을 만족하면 k를 짝수라고 부른다.
어떤 k에 대해서 적당한 또다른 정수 n이 있어, 2*n+1=k인 조건을 만족하면 k를 홀수라고 부른다.

짝수의 집합과 홀수의 집합은 정수를 정확히 분할한다. 즉, 짝수와 홀수의 합집합은 정수 전체이며 교집합은 없다.
그렇기 때문에, "짝수가 아니다"라는 표현은 "홀수이다"라는 표현과 동등한 표현이다.

만약 정수라는 조건이 없다고 하여 k가 그냥 실수나 유리수라고 해 보자. 그럼 이 경우 n역시 실수나 유리수로 확장되어야 한다. 만약 n이 정수라면 정수는 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 2*n=k가 될 수 있는 k는 정수밖에 없다. 따라서 k는 저절로 정수가 된다. k가 정수가 아닌 유리수라고 해 보자. 그럼 k는 짝수일수도 있고 홀수일수도 있다. 왜냐하면 2*n+1=k인 유리수 n은 임의의 유리수 k에 대해서 항상 존재하고, 동시에 2*n=k인 n도 또한 임의의 유리수 k에 대해서 항상 존재하기 때문이다. 따라서 유리수인 경우에는 홀수이냐 짝수이냐 하는 논의는 의미가 없다.

보충설명
"a가 짝수이다"라는 말이 "명제"이기 위해서는 참이거나 거짓이어야 한다. 그런데, a를 실수나 유리수라고 하자. 그럼, 앞서의 논의에 의해 a는 짝수도 아니고 홀수도 아니다. 따라서 "a가 짝수이다"라는 말은 명제가 될 수 없다.
그러므로 그 부정 또한 의미가 없게 된다.

 

보충설명2

밑에 댓글에서 '아놔'님이 '짝수이다'의 부정으로 '홀수이다'는 불가하며 '짝수가 아니다'만이 가능하다고 했는데, 여기에 대해서 길게 논쟁을 했지만 내가 틀렸다. 이 글의 주제는 '짝수인가 홀수인가?'를 물어볼 때 '그럼 일단 그 수는 정수다'라는 점을 묵시적으로 가정하고 있다는 것을 지적하는 것이다. '짝수이다'의 부정이 '홀수이다'가 가능한가?는 내가 잘못 생각했으며, '짝수이다'의 부정은 '짝수가 아니다'만이 가능하다. 단, '짝수가 아니다'와 '홀수이다'는 동등한 표현이 맞다. 다만 '짝수이다'의 부정이 '홀수이다'는 안된다는 뜻이다.