회전체의 겉넓이 계산법

넓이는 어쨌든 2중 적분을 잘 해주면 된다.

f(x)>0인 함수를 적당한 구간에서 x축을 중심으로 회전시켜서 회전체를 만들었다고 하고, x=[a,b]인 구간에서 회전각 $\theta$에 해당하는 넓이는 어떻게 구할까?

적분은 어쨌든 면적소를 잘 잡으면 되는데, 어쨌든 $ds$를 어떻게 잡느냐가 관건이다.
좌표계를 회전좌표계로 잡으면 돌아가는 방향  $\theta$방향으로는 길이가 $f(x)d\theta$만큼일 것이고, x방향으로는 길이가 $\sqrt{dx^2 + df^2}$ (피타고라스 정리 사용) 일 테니까, $\sqrt{1+(df/dx)^2} dx$가 길이가 된다.
그럼 넓이는 가로 x 세로 이므로 $ds=f(x)\sqrt{1+(df/dx)^2}d\theta dx$가 된다.

이제 적분만 잘 하면 된다. 원하는 넓이를 S라고 하면,

$S = \int_{x=[a,b],\theta=[0,\Theta]} f(x)\sqrt{1+(df/dx)^2}d\theta dx $

이 적분을 잘 해주면 된다.

**수식 플러그인이 좀 이상하게 작동해서 수식이 이상하게 보입니다. 2자는 모두 제곱의 의미로 사용된 숫자들이예요.
**파이어폭스에서는 정상적으로 보이고 IE에서는 이상하게 보일 겁니다.
by snowall 2008.08.22 23:38