Quantum Field Theory #2

Harmonic oscillator를 확장한다는 것은 뭘까?
Harmonic oscillator 문제란 운동에너지에 potential 에너지 항을 위치의 제곱에 비례하는 것을 넣어서 문제를 계산하는 것을 말한다. 그리고 이 문제를 양자화시키면 위치 연산자는 상태를 올리는 연산자와 내리는 연산자의 합으로 표시된다. 그리고 운동량 연산자는 그 차로 표시된다. 또한 계를 기술하는 해밀토니안은 두 연산자의 곱으로 표시된다. 그리고 이것을 이용해서 Harmonic oscillator의 모든 양자적인 상태를 알 수 있게 된다.
이것을 Field의 continuum limit으로 확장하게 되면, 일단 위치는 field strength로 변하게 되고, 그에 대한 운동량은 field gradient로 변하게 된다. 따라서 해밀토니안은 field strength의 제곱과 field gradient의 제곱을 더한 것으로 변한다. 여기에, 다른 상호작용이 전혀 없다면, 이 해밀토니안으로부터 유도된 오일러-라그랑지 운동 방정식은 정확히 Klein-Gordon 방정식이 된다. KG방정식은 아인슈타인의 질량-에너지-운동량 공식을 양자화해서 얻은 공식이고, 상대론적인 양자역학의 첫 기초가 되는 방정식이다. 따라서, 우리는 맞는 길을 가고 있다고 봐도 좋은 것이다.
그리고 이 방정식은 푸리에 변환을 통해서 손쉽게 해결할 수 있다. 어떻게 해결하는지는 Field theory책을 찾아봤으면 좋겠다.

이제, 여기에 상호작용을 넣어보자. 상호작용을 넣게 되면, field strength의 제곱항이 아닌 다른 이상한 항들이 더 들어가게 된다는 것을 뜻한다. 여기서 이상한 항들이 될 수 있는 후보는 로렌츠 변환에 대해서 불변인 것들만 가능하게 된다. Field strength의 4제곱항이 그 대표적인 예가 될 수 있겠다. 문제는, 4제곱항을 넣게 되면 그로부터 유도되는 운동방정식에는 field strength의 3차항이 반드시 들어가게 되는데, 이렇게 되면 비선형 연산자가 들어간 운동방정식이 되므로 푸리에 변환을 통해서 풀 수가 없게 되고, 이 문제는 대단히 어려운 문제가 된다. 따라서, 이 문제를 직접 공략하지 말고 멀리 돌아가야 할 필요가 생기게 된다.